中考压轴第四讲 ---费马点的再探究（最值问题）

费马点问题再探究

在上一节课中，我们学习了在三角形内部一点，到三个顶点距离之和最短的问题，以及这三条线段和最小的计算方法，通过巧妙地旋转，将问题转化为两点之间的距离问题或者点到直线的距离问题，进而解决问题。而满足条件的这一个特殊点也是唯一的点，我们称它为“费马点”。在基本模型中，已知三角形的三个内都小于120°，而满足条件的点，只有唯一一个。如下图所示：

但是在实际的考查过程中，还会出现一些其他情况，它们都是什么呢？今天我们一起来学习费马点问题的另外一些特殊情况！

例题展示：

基本类型：

1.在△ABC中，AB=AC=2,∠BAC=90°，点P为△ABC内一点，则求PA+PB+PC的最小值。

特殊型1（系数中有一个不是1）：

2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=4,  AC=2, 点P是△ABC内一点，求PA+（根号2）PB+PC的最小值（特殊类型：系数中出现根号2）

3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=4,  AC=2, 点P是△ABC内一点，求PA+（根号3）PB+PC的最小值（特殊类型：系数中出现根号3）

方法总结：当系数中出现或时，将对应的线段旋转90°或120°，将三条线段的和的问题转化成两点之间的距离，进而快速将问题解决。

特殊型2（系数有两个不是1）

4.在△ABC中，AB=AC=4,∠BAC=90°，点P为△ABC内一点，求的

(根号3)PA+PB+2PC最小值。

5.在△ABC中，AB=AC=4, ∠BAC=90°，点P为△ABC内一点，求

的最小值。

特殊型3（系数三个都不是1）

6.在△ABC中，AB=AC=4, ∠BAC=90°，点P为△ABC内一点，求4PA+3PB+5PC的最小值。

7.在△ABC中，AB=AC=4, ∠BAC=90°，点P为△ABC内一点，求3PA+4PB+5PC的最小值。

【跟踪练习】

1如图1，已知线段AB=4,请你以AB为边，作等边△ABC。（尺规作图，保留痕迹，不写作法）

2如图2，已知△ABC中，AB=3,AC=4,分别以AB、BC为边，作等边△ABD、和等边△BCE,求AE的最大值。

3如图3，在△ABC中，∠ABC=30°，AB=6, BC=8,点P为△ABC内一点,求AP+(根号2)BP+PC的最小值。

4如图3，在△ABC中，∠ABC=30°，AB=6, BC=8,点P为△ABC内一点,求AP+（根号3）BP+2PC的最小值。

【温馨提示】

以下几个问题，难度较大，根据自己的情况，选择吧！

【最后一题，难度更大，做完你就是学霸】

在本节课中，我们主要学习了费马点的特殊类型，对于此类型的考查学生作为了解部分，根据自己的情况，理解题目中所给的信息，这部分内容的难度较大，需要学生充分的掌握的相似的构造法，利用图形之间的相似，对应边成比例这一性质，可以将线段的数量关系进行转化。

学生要掌握这一点，就必须要最近本的费马点问题非常熟练，如果不能解决基础模型，那么复杂的费马点问题，可能你学期来就比较吃力，万丈高楼平地起，打好基础，很重要。

（学习建议：）这部分内容相对较难，不容易理解，所以要花更多的时间来研究，如果仅仅是走马观花式的学习方式，建议还是别学了，因为对你而言没什么效果。要学就认真把上面的每一道练习题认真做，在做题的过程中，来理解这类问题的处理方法。记住，要学就认真学！只要肯花时间钻研，你一定会弄明白的！

中考的钟声越来越近，但是2020年的中考，好像会与众不同，不管结果怎样，希望每一位同学都能够尽全力先去拼搏，利用好平时的时间，抓紧时间给自己充电，将自己学过的知识漏洞，及时补一补，自己的事情自己要承担结果。靠自己，让自己变得可靠可信。