公众号来源：爱在数学；作者：郭庆明
在解决数学问题时，思考的重点是要把难解决的问题转化为易解决的问题.也就是说，在求解不易直接或正面找到解题途径的问题时，我们往往转化问题的形式，从侧面或反面寻找突破口，直到最终把它转化成一个或者若干个熟知的或已能解决的问题.这就是数学思维中重要的思想和方法——化归思想和方法.可以做到生疏化成熟悉，复杂化成简单，抽象化成直观，含糊化成明朗。故化归思想在数学解题中应用相当广泛。
在锐角三角比的章节学习过程中，关于锐角的三角比的求解往往是通过直接或间接将其置于直角三角形中进行三角比的计算。大致的解题流程如下图。
下面我们看看等角转移在有关三角比计算题中的应用。
例①
【平行带来的角度转移】
设正方形边长为单位1，则AF=2√(2)，BF=√(2)
可证BF∥CD，则∠APD=∠ABF，tan∠APD=tan∠ABF=AF/BF=2
例②
【平行带来的角度转移】
FG∥AD，故∠GFE=∠DAF，则tan∠GFE=tan∠DAF，AD=3，故求正切值，需求DF，则求FC。FC怎么与未用的已知线段FG建立联系？
从E-FC-AB与E-GF-DA两次A字形这一基本图形证出相等。
FC∥AB，EF/EA=FC/AB；
FG∥AD，EF/EA=FG/AD；
而AB=AD
则FG=FC=1，∴DF=2，∴tan∠GFE=tan∠DAF=2/3
例③
【平行、等腰带来的角度转移】
圆D与圆M外切：MG+DN=DM
而MN+DN=DM
故MN=MG⇒∠G=∠MNG，∠AND=∠MNG
所以∠G=∠AND，∠DAN=∠MBG=135°（等腰Rt），BG=AN
∴△AND≌△BGM⇒DN=MG
∴DN=MN，即点N为DM中点，
又因为∠ACM=90°，
∴NC=ND，∴∠D=∠ACN
又∵AO∥DM，∴∠D=∠CAO
tan∠ACN=tan∠CAO=CO/AC=1/2
本题运用到角度之间的转换主要是从等腰三角形的等边对等角；两直线平行，同位角相等。
例④
【等角的余角相等带来的角度转移】
∠ACB=90°，BF∥AC⇒∠CBF=90°
∴∠CBD+∠EBF=90°
AE⊥BD⇒∠BEF=90°
∴∠F+∠EBF=90°
∴∠CBD=∠F
故tan∠AFB=∠CBD，而CB=7，故需求BC，而AC=1，只需求出AD即可。
E为BD边中点，AE⊥BD⇒AB=AD
故欲求AD，需求AB
显然，对Rt△ACB运用勾股定理解得AB=5√2
所以tan∠AFB=tan∠CBD=CD/CB=（5√2+1）/7
本题主要运用到等角的余角相等结合两直线平行，同旁内角互补进行角度之间的转换
例⑤
【相似三角形的性质带来的角度转移（1）】
∵∠BEF=∠BCA=90°，∠E为公共角
∴△BEF∽△BCA，∴BE/BC=BF/BA
∴BE/BF=BC/BA，又∵∠CBE=∠ABF
∴△BEC∽△BFA，∴∠ECF=∠BAF
对于等腰Rt△BEF，设BE=EF=k，
∵BE:EA=1：2，∴EA=2k
∴tan∠ECF=tan∠BAF=EF/AE=1/2
本题主要通过相似三角形的对应角相等这一性质进行角度之间的转换。本题所涉及图形是常见的基本相似图形，需牢记。与本图类似的相似基本图形由如下：
图（1）有2对相似，A字型相似和8字型相似；
图（2）就是本题的基本图形，共有4对相似：
△ADE∽△ACB，△AEB∽△ADC，△DFB∽△EFC，△DFE∽△BFC，
这4对相似的关系，知一推三；
图（3）有6对相似：△EAB∽△DFB∽△EFC∽△DAC，
利用相似的传递性有6对，知一推五
图（4）有8对相似，在图（3）的基础上增加2对：
△EAB∽△DFB∽△EFC∽△DAC；△ADE∽△ACB；
△DFB∽△EFC，知一推七。
例⑥
【相似三角形的性质带来的角度转移（2）】
本题主要从4次相似最终推导出∠MAG=∠MFD
先由△ABE∼△ADF⇒△AEF∼△ABD⇒△AMF∼△GMD⇒△AMG∼△FMD
经历从共顶点的旋转相似到蝶形相似的演变过程。
关于已知角的锐角三角比的求解，若已知角不在直角三角形中，尽量避免盲目添加垂线将其置于直角三角形中，要不然可能会陷入死胡同中。先尝试对几何图形进行分析，能否通过转化的思想将已知角进行转化。常见的转换角的方法有：等腰三角形等边对等角；两直线平行，同位角、内错角相等；全等或相似三角形的对应角相等；同（等）角的余角相等，补角相等；平行四边形的对角相等；在同（等）圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。。。。
如存图片/音视频/作者/来源等使用或标注有误，请随时联系微信：alarmact处理。
联系客服
