对一道数学题，往往可以从不同的角度去分析。首先，可以从不同的知识角度去分析。小学生有小学生的知识角度；中学生有中学生的知识角度；大学生有大学生的知识角度。其次，可以从不同的方法角度去分析。可以有算术方法的角度、代数方法的角度、几何方法的角度。最后，可以从不同的观察角度去分析。对于同一个几何图形，观察的角度不同，往往可以把它分解成不同的构成部件。角度不同，解决问题的思路往往也会不同。
一、不同的知识角度
例1
说明0.999…＝1。
角度1
从求两个数的平均数的角度分析。
如果求两个数的平均数，其结果等于其中的某个数，则说明这两个数是相等的。
（0.999…＋1）÷2＝1.999…÷2＝0.999…
所以，0.999…＝1。
角度2
从把无限循环小数化为分数的角度分析。
设x＝0.999…，则
10x＝9＋0.999…＝9＋x。
解得x＝1，即0.999…＝1。
角度3
从级数的角度分析。
把0.999…看成如下级数：
因为
所以0.999…＝1。
角度4
从实数理论的角度分析。
根据实数理论，基本序列的极限为实数。如果两个基本序列的极限相等，康托称其为等价类。这样，一个实数与一个由基本序列组成的等价类一一对应。例如，下面的两个序列
（1）0.9，0.99，0.999，…
（2）1，1，1，…
是等价的两个基本序列，因此它们定义同一个实数1。这也就表明：0.9999…＝1。
以上四个角度分别对应不同的知识角度。角度1对应小学生的知识角度；角度2对应中学生的知识角度；角度3和角度4对应大学生的知识角度。知识越丰富，就更能够从多角度思考问题。
例2
求证：方程 (x-a)(x-a-b)=1有两个实数根，并且其中一个根大于a，另一个根小于a。
角度1
用求根公式求出方程的两个根。
将方程化为一般形式：
∴方程有两个实数根。
角度2
用韦达定理。
角度3
用二次函数知识。
设 f(x)=(x-a)(x-a-b)，这是一个二次函数，其图象是开口向上的抛物线。
由于f(a)=-1<0，且抛物线开口向上，于是抛物线与x轴必有两个交点，且这两个交点位于直线x=a的两侧。所以，原方程有两个实数根，且一个根大于a，一个根小于a。
二、不同的方法角度
例3
“鸡兔同笼”问题：今有鸡兔同笼，上有35头，下有94足，问鸡兔各几何？
角度1
算术方法
如果每只鸡都用一只脚站着，而每只兔子都用后腿站着，在这种情况下，总脚数只出现了一半，即47只脚。在47这个数里，鸡的头数只数了一次，而兔子的头数却数了两次，从47里减去总的头数35，得到的就是兔子的头数：47－35＝12，即有12只兔子。那么鸡就是35－12＝23只。
角度2
代数方法
设鸡x只，兔子y只。据题意得
解得x＝23，y＝12。
如果用a表示头的总数，用b表示脚的总数，则可得
这就解释了上述的算术解法。
例4
如图1，线段AB的长为4，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，那么DE长的最小值是 （ ）。
图1
角度1
代数方法
转化为求二次函数的最值问题：
设AC=x，则
可得当x=2时，DE的最小值为2。
角度2
几何方法
转化为点到直线的垂线段最短：如图2，分别过点D、E作AB的垂线，垂足分别为点M、N，则DE≥MN=2。
图2
例5
从几何角度思考：
对于（1）：如图3所示，如果把等式右边结果中的n(n＋1)看着长和宽分别为n、n＋1的矩形的面积，则易证。
图3
图4
对于（3）：如图5所示，把等式右边的
中的
看成长和宽分别为
的矩形的面积，从而可得
图5
从代数角度思考：
（1）和（2）略。
对于（3）：将所求的和记为S，根据立方差公式可得：
从而可得：
将上述n个式子相加得：
从而可得
三、不同的观察角度
对于例2，如果把x－a看着一个整体，会使解答过程更简单：
如果设 y=x-a，则原方程化为
即
因此，不同的观察角度，会影响解题的难易程度。
例6
证明：三角形任意两边之和大于第三边。
如图6，已知△ABC，求证：AB＋BC＞AC。
图6
观察角度1
把AB、BC、AC分别看成△ABC的三边。如图7，延长AB至D，使BD＝BC。在△ADC中，根据大角对大边，可得AD＞AC，从而可得AB＋BC＞AC。
图7
观察角度2
把AB＋BC看着A、C两点之间的折线，根据“两点之间线段最短”可得AB＋BC＞AC。
例7
证明：等边对等角。
已知：如图8，在△ABC中，AB=AC。
求证：∠B=∠C。
图8
观察角度1
由等腰三角形的轴对称性得到启发，通过作辅助线予以证明。
如图9所示是华东师大版初中数学教材给出的证明方法。
观察角度2
把∠B、∠C分别看成△ABC、△ACB的内角，通过证明△ABC≌△ACB，得出∠B=∠C。
其证明过程如下：
如图8，在△ABC和△ACB中，
∴△ABC≌△ACB（S.A.S）。
∴∠B=∠C。
不同的知识角度依赖于知识水平；不同的方法角度依赖于解题经验；不同的观察角度依赖于观察力。较强的解题能力取决于宽广的知识、丰富的解题经验和敏锐的观察力。
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