在1月28日,中国工程院院士闻玉梅接受采访时认为,疑似感染数下降、发病数下降是拐点出现的标志,2月6日王辰院士也表示了相同的观点,这个拐点和数学上的拐点是吻合的(后面会介绍为啥吻合)。所以在2月16日,中南医院院长王行环根据上面的标准,觉得拐点已经到来。但是在2月21日,中共中央政治局会议表示,拐点尚未到来,既然中央发话了,那我们必须保持警惕,不能有丝毫松懈。然后在26号,复旦大学专家卢洪洲表示,从临床的角度,不讲拐点,只讲疫情结束。所以这个疫情的拐点我们也不纠结了,其实我有个判断拐点的精准办法,就是哪天教育局通知我们去上班,通知你们去上学,那就表示拐点到了,疫情已经妥妥的控制住了。
现在我们回到数学上,到底什么叫拐点,为了方便,我们下面介绍的函数都是在一个开区间的上的可导函数,有的函数比如y=|x|在x=0处不可导,但是取极小值;y=x^(1/3)在x=0处不可导,但是原点是它的拐点,这些我们都先不考虑。拐点其实大家在初中就接触过,比如数学五大奇人之一的小明,早上上学的时候发现快迟到了,开始加速跑,跑累了又降速,他从最高速度开始降速的时候就是拐点,和上面的院士所介绍的疑似感染数下降、发病数下降是一个道理,如下图:
直观感知,拐点就是函数的凸凹分界点,具体什么叫凸函数什么叫凹函数,大家也不用去管,大学会详细介绍,但是我们可以很形象的看到,函数在拐点两侧附近的切线斜率(导数)一个逐渐变大,一个逐渐变小,所以拐点处的横坐标是函数的导函数的极值点,是函数的二阶导数的变号零点。
那么我们学过的基本初等函数哪些有拐点呢?我们从头捋一捋,一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数都没有拐点,幂函数中很多有拐点,最经典的就是y=x^3,原点是其拐点,拓展到一般的三次函数,其导函数都有极值点,所以三次函数都有拐点,其实该拐点是其对称中心,在2018高考数学100弹之第26弹:三次函数的图象与性质中作过介绍,在此就不赘述了。
我们可以发现函数在其拐点处的切线在拐点的附近是穿过该函数的,比如下面这道题:
这道题的正常解答如下:
但是如果这是一道小题,大家得瞬间知道x=1是f(x)导函数的对称轴。
基本初等函数中,三角函数具有无数个拐点,y=sinx与x轴的交点都是它的拐点,y=cosx和y=tanx也一样。我们知道函数f(x)的的极值点是其导函数f'(x)的变号零点,而其拐点的横坐标是其导函数的极值点,所以如果f'(x)在其零点处取到极值,那么该零点一定不是其变号零点,所以我们知道函数f(x)在其拐点处不可能取极值。
还是以y=x^3为例,其在x=0时一阶导数为零,但不是一阶导数的变号零点,二阶导数为0,且是二阶导数的变号零点,所以原点是y=x^3的拐点,0不是其极值点。
那么什么叫驻点呢?这个很简单很形象,驻就是歇一会,比如我们去爬下面的山,大家会在哪个地方驻一会呢?你想驻的地方就是驻点。
其实驻点就是函数f(x)的一阶导数的零点,如果是变号零点,那么驻点就是原函数的极值点,如果不是变号零点,那么驻点就是原函数的一个拐点的横坐标(常函数除外)。但是一定要注意,拐点的横坐标不一定是驻点。
一个可导函数(常函数除外),驻点分两种情况,第一种就是极值点,第二种是拐点的横坐标。拐点横坐标是原函数的二阶导数的变号零点,是一阶导数的极值点,不一定是原函数的驻点,一定不是原函数的极值点,原函数在拐点处的凸凹发生变化,拐点处的切线在拐点附近穿过原函数的图象。
预告:函数的凸凹和拐点联系很密切,和函数的切线联系更密切,那么一个函数的某点处切线与该函数的公共点只有一个吗?,该切线绕该点旋转,与该函数的交点怎么变化呢?
明日的题目:2020高考100问之003:函数上某点处的切线与该函数的公共点只有一个吗?
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