中考数学压轴题分析——2倍角问题

前面分析了一个角为定值、一个角等于定角等问题。

接下来就是一个角为另一个角的2倍了。

当然，题目无论怎么变化，本质都是利用角的等量关系。

那么角可以用什么来表示这个等量关系呢？

①角度；

②长度——三角函数。

有了等量关系结论就出来了。本文选自以下地区：

2019·咸宁、2019·宿迁

2019·达州、2019·毕节市

2019·盐城

【中考真题】

（2019·咸宁）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-1/2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=-1/2x²+bx+c经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C．

（2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD＝2∠BAC时，求点D的坐标．

【分析】

题目中∠BAC的度数是确定的。

所以∠ABD的大小也是确定的。

根据之前的思路，我们可以先构造一个角为∠BAC的2倍，并求出其三角函数，再建立等量关系。如下图：

因为∠BAC的一边在x轴上，所以对称过去就是2倍了。那么作垂直构造直角三角形就可以了。然后在过点D作AB的垂线，利用正切得到等量关系求解。

当然，还有一个思路。

就是以AB为边直接构造一个角为∠BAC的2倍。先作AC的平行线，再对称上去即可。过点D作x轴的垂线，可以得到一个等腰三角形，利用三线合一可以建立等量关系。

【答案】解：抛物线得解析式为y=-1/2 x²+3/2 x+2

如图，过点B作x轴得平行线交抛物线于点E，过点D作BE的垂线，垂足为F

∵BE∥x轴，∴∠BAC＝∠ABE，

∵∠ABD＝2∠BAC，∴∠ABD＝2∠ABE，

即∠DBE+∠ABE＝2∠ABE，

∴∠DBE＝∠ABE，

∴∠DBE＝∠BAC，

设D点的坐标为（x，-1/2 x²+3/2 x+2），

则BF＝x，DF=-1/2 x²+3/2 x，

∵tan∠DBE=DF/BF，tan∠BAC=BO/AO，

∴DF/BF=BO/AO，即(-1/2 x²+3/2 x)/x=2/4，

解得x1＝0（舍去），x2＝2，

当x＝2时，-1/2 x²+3/2 x+2=3，

∴点D的坐标为（2，3）．

【举一反三】