策略 | 秒解无理不等式的11种必备策略（优选）

作者简介：

林明成，四川省特级教师，中国数学会会员，中国科学技术学会会员，中国人大作者协会会员，广元市数学学会常务理事，广元市学术和技术带头人，享受政府津贴。

 解无理不等式是中学数学的一个重要内容 .求解无理不等式的常规思路是利用平方法将无理不等式转化为有理不等式组求解, 以解脱根式的纠缠和困扰, 但与此同时需严格注意不等式两边的符号, 往往运算繁琐冗长, 若我们细心观察, 抓住题目特征, 因题定法, 选择合理的途径, 则可避开讨论, 优化求解过程, 提高解题效率.在具体的解题过程中, 有以下求简策略 .

策略一:补集法

正面强攻困难时, 用补集法考虑其对立面, 可避繁就简 .

例题01

策略二:三角代换法

一些复杂的无理不等式, 若能根据不等式的构造特征和解题的需要, 选择合适的三角函数去代换不等式中的变数, 纳入熟悉的三角变形轨道,化生为熟.

例题02

策略三:根式代换法

考虑到原不等式中的根号是困难所在, 利用根式代换消除根式, 把原不等式转换成关于辅元的有理不等式, 有时是十分方便的.

例题03

策略四:分子有理化法

分子有理化在处理无理式中有特殊的功能作用. 通过分子有理化, 改变原不等式的结构, 挖掘隐含条件, 出奇制胜 .

例题04

策略五:借助函数图像求解

将原不等式适当变形, 优化不等式结构, 再将不等式两边分别看作两个函数, 考察两个函数的图像, 以形助数, 能避免繁冗的计算和讨论, 展现出以简驭繁的思路.

例题05

评注：这种方法要注意思维监控, 确保两个函数的图像都易作.

策略六:借助函数定义域求解

众所周知, 求解函数问题, 要注意“定义域优先”的原则. 若能把握函数、不等式之间的关系, 直接考查不等式对应的函数的“定义域”, 不等式的解集应是这个“定义域”的子集. 借助“定义域”的调节转化, 减少许多中间运算环节, 从而达到优化解题过程的目的.

例题06

策略七:借助函数值域求解

将不等式化成 f(x)＜a,（或 f(x)＞a为常数) 的形式,考察函数f(x)的值域, 注意值域的特殊功能作用, 出奇制胜.

例题07

策略八:借助函数单调性求解

某些不等式表面上看与函数单调性无关, 但若仔细观察题目整体结构特征, 合理地利用题设条件, 构造出相应的函数, 利用函数的增减性, 迅速摆脱根号的困扰, 也是一种好的策略 .

例题08

策略九:借助线性规划求解

通过“双换元” 将原不等式转化为混合组, 在可行域内根据几何意义先求出辅元的范围, 使原不等式得到巧妙解决, 这种方法简单直观, 具有创新性 .

例题09

策略十:借助圆锥曲线求解

有些无理不等式, 有解析几何背景, 我们可以通过“常量代换”将一元不等式转化为二元不等式, 仔细观察整体结构特征, 联想圆锥曲线定义,化数为形, 直接而简明地获解 .

例题10

策略十一:零点分段法

构造辅助函数, 利用零点将定义域分段, 分别考查各区间上函数值的取值符号, 用具体的求值验证代替抽象的逻辑推理, 这种方法类似于解高次不等式的“穿针引线法”, 可操作性强, 不失为一种有效手段.

例题11

来源：数学三剑客（ID：Math-119）；如存图片/音视频/作者/来源等使用或标注有误，请随时联系微信ABC-shuxue处理。