最热考点切线的判定大全

切线的判定是最常考的考点之一，从2019年的中考真题中随手一翻即可看到此类相关的题目。以下地区均有涉及：

2019·大庆、2019·济宁、2019·衢州

2019·白银、2019·深圳、2019·扬州

2019·兰州、2019·广东、2019·黄石

2019·荆州、2019·镇江、2019·随州

2019·雅安、2019·鄂州、2019·广元

2019·遵义、2019·西藏、2019·本溪

2019·泸州、2019·宜宾、2019·泰州

2019·枣庄、2019·常德、2019·莱芜

2019·襄阳、2019·安顺、2019·淮安

2019·广安、2019·达州、2019·贵港

2019·恩施州、2019·湘西州

2019·郴州、2019·遂宁

……

【中考真题】

一、两角的和为90°

1．（2019·大庆）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，直线OD与⊙O相交于E，F两点，P是⊙O外一点，P在直线OD上，连接PA，PC，AF，且满足∠PCA＝∠ABC．

（1）求证：PA是⊙O的切线．

【分析】

通过等量代换得两个角的和为90°。

【答案】（1）证明∵D是弦AC中点，

∴OD⊥AC，

∴PD是AC的中垂线，

∴PA＝PC，

∴∠PAC＝∠PCA．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠CAB+∠CBA＝90°．

又∵∠PCA＝∠ABC，

∴∠PCA+∠CAB＝90°，

∴∠CAB+∠PAC＝90°，即AB⊥PA，

∴PA是⊙O的切线．

二、三角形的内角和

2．（2019·宜宾）如图，线段AB经过⊙O的圆心O，交⊙O于A、C两点，BC＝1，AD为⊙O的弦，连结BD，∠BAD＝∠ABD＝30°，连结DO并延长交⊙O于点E，连结BE交⊙O于点M．

（1）求证：直线BD是⊙O的切线；

【分析】

通过圆周角定理得到两个内角和为90°，再得直角。

【答案】（1）证明：∵OA＝OD，∠A＝∠ABD＝30°，

∴∠A＝∠ADO＝30°，

∴∠DOB＝∠A+∠ADO＝60°，

∴∠ODB＝180°﹣∠DOB﹣∠B＝90°，

∵OD是半径，

∴BD是⊙O的切线．

三、通过全等得到两个角相等

3．（2019·枣庄）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD＝CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E．

（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．

【分析】

证明全等，得到90°。

【答案】（1）证明：连接OC．

∵CB＝CD，CO＝CO，OB＝OD，

∴△OCB≌△OCD（SSS），

∴∠ODC＝∠OBC＝90°，

∴OD⊥DC，

∴DC是⊙O的切线．

四、通过平行得到90°

4．（2019·湘西州）如图，△ABC内接于⊙O，AC＝BC，CD是⊙O的直径，与AB相交于点G，过点D作EF∥AB，分别交CA、CB的延长线于点E、F，连接BD．

（1）求证：EF是⊙O的切线．

【分析】

先利用垂径定理的推论得到垂直，再根据平行进行转化。

【答案】解：（1）∵AC＝BC，CD是圆的直径，

∴由圆的对称性可知：∠ACD＝∠BCD，

∴CD⊥AB，

∵AB∥EF，

∴∠CDF＝∠CGB＝90°，

∵OD是圆的半径，

∴EF是⊙O的切线．

五、无交点作垂直

5．（2019·贵港）如图，在矩形ABCD中，以BC边为直径作半圆O，OE⊥OA交CD边于点E，对角线AC与半圆O的另一个交点为P，连接AE．

（1）求证：AE是半圆O的切线．

【分析】

题目未指出圆与直线的交点时，需手动作垂线进行证明。

【答案】（1）证明：∵在矩形ABCD中，∠ABO＝∠OCE＝90°，

∵OE⊥OA，

∴∠AOE＝90°，

∴∠BAO+∠AOB＝∠AOB+∠COE＝90°，

∴∠BAO＝∠COE，

∴△ABO∽△OCE，

∴AB/OC=AO/OE，

∵OB＝OC，

∴AB/OB=AO/OE，

∵∠ABO＝∠AOE＝90°，

∴△ABO∽△AOE，

∴∠BAO＝∠OAE，

过O作OF⊥AE于F，

∴∠ABO＝∠AFO＝90°，

在△ABO与△AFO中，

∠BAO=∠FAO，∠ABO=∠AFO，AO=AO，

∴△ABO≌△AFO（AAS），

∴OF＝OB，

∴AE是半圆O的切线．

六、通过相似得到角度相等

6．（2019·遂宁）如图，△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E，延长AD至点F，使DF＝2OD，连接FC并延长交过点A的切线于点G，且满足AG∥BC，连接OC，若cos∠BAC=1/3，BC＝6．

（1）求证：∠COD＝∠BAC；

（2）求⊙O的半径OC；

（3）求证：CF是⊙O的切线．

【分析】

通过相似也可以得到角度相等，进行转化。

【答案】（3）∵DF＝2OD，

∴OF＝3OD＝3OC，

∴OE/OC=OC/OF=1/3，

∵∠COE＝∠FOC，

∴△COE∽△FOC，

∴∠OCF＝∠DEC＝90°，

∴CF是⊙O的切线．

七、勾股定理的逆定理进行证明

7．（2013·广州）已知AB是⊙O的直径，AB＝4，点C在线段AB的延长线上运动，点D在⊙O上运动（不与点B重合），连接CD，且CD＝OA．

（1）当OC=2√2时（如图），求证：CD是⊙O的切线；

【分析】

已知三角形的三边，利用勾股定理的逆定理来证明90°。

【答案】（1）证明：连接OD，如答图①所示．

由题意可知，CD＝OD＝OA=1/2AB＝2，OC=2√2，

∴OD²+CD²＝OC²，

由勾股定理的逆定理可知，△OCD为直角三角形，则OD⊥CD，

又∵点D在⊙O上，

∴CD是⊙O的切线．

【总结】

切线是初中阶段的重点、热点，主要是圆的切线。

其实抛物线也有切线。到了高中还有椭圆、双曲线等圆锥曲线的切线，以及函数图象的切线。

圆的切线有几个角度：

①交点个数；

②垂直半径，也就是证明90°；

③到圆心的距离为半径，也就是长度。