求角度与求线段长是几何里面两大基本问题之一。
本文介绍几种类型的角度求值问题，题目选自以下地区：
2019·福建、2019·常德、2019·贺州
2019·扬州、2019·聊城、2019·温州
2019·天津、2019·白银、2019·金华
2019·邵阳
求角度的方法比较多：
①利用角度之间的关系进行计算，主要是图形的性质，如互补、内角和、外角的性质等等；
②利用全等、相似进行转化，根据等量关系进行求解；
③利用相似、三角函数等得到比例关系，再得出角的大小。
也可以说分为两种思路：
①边的方面，得到线段的关系再求出角度；
②角度的关系，直接求或转化。
【中考真题】
一、与旋转有关的角度求值问题
1．（2019·福建）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E．
（1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小；
【答案】（1）解：如图1，∵△ABC绕点C顺时针旋转α得到△DEC，点E恰好在AC上，
∴CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°，
∵CA＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA=1/2（180°﹣30°）＝75°，
∴∠ADE＝90°﹣75°＝15°；
备注：旋转得等腰三角形求再求直角三角形的锐角，本题为旋转的性质中常见的题目
2．（2019·常德）如图，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝45°，点D在AC边上，将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD′，且点D′、D、B三点在同一条直线上，则∠ABD的度数是 ．
【答案】解：∵将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD′，
∴∠BAC＝∠CAD'＝45°，AD＝AD'
∴∠AD'D＝67.5°，∠D'AB＝90°
∴∠ABD＝22.5°
故答案为：22.5°
二、与圆有关的角度求值问题
3．（2019·贺州）如图，BD是⊙O的直径，弦BC与OA相交于点E，AF与⊙O相切于点A，交DB的延长线于点F，∠F＝30°，∠BAC＝120°，BC＝8．
（1）求∠ADB的度数；
【答案】解：（1）∵AF与⊙O相切于点A，
∴AF⊥OA，
∵∠F＝30°，
∴∠AOF＝60°，
∵OA＝OD，∠AOF＝∠ADB+∠OAF，
∴∠ADB＝∠OAF＝30°．
备注：本题其实蕴含了一个弦切角的问题。弦切角等于弦所对的圆周角。
4．（2019·扬州）如图，AB是⊙O的弦，过点O作OC⊥OA，OC交AB于P，CP＝BC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）已知∠BAO＝25°，点Q是(AmB) ̂上的一点．
①求∠AQB的度数；
【答案】（2）解：①∵∠BAO＝25°，
∴∠ABO＝25°，∠APO＝65°，
∴∠POB＝∠APO﹣∠ABO＝40°，
∴∠AQB=1/2（∠AOP+∠POB）=1/2×130°＝65°；
备注：圆周角定理、内角和
5．（2019·聊城）如图，BC是半圆O的直径，D，E是(BC) ̂上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE．如果∠A＝70°，那么∠DOE的度数为（ ）
A．35° B．38° C．40° D．42°
【答案】解：连接CD，如图所示：
∵BC是半圆O的直径，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠A＝20°，
∴∠DOE＝2∠ACD＝40°，
故选：C．
6．（2019·温州）如图，⊙O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F，点P在优弧（(EDF) ̂）上，若∠BAC＝66°，则∠EPF等于 度．
【答案】解：连接OE，OF
∵⊙O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F
∴OE⊥AB，OF⊥AC
又∵∠BAC＝66°
∴∠EOF＝114°
∵∠EOF＝2∠EPF
∴∠EPF＝57°
故答案为：57°
备注：切线长定理
7．（2019·天津）已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB＝80°，C为⊙O上一点．
（Ⅰ）如图①，求∠ACB的大小；
【答案】解：（Ⅰ）连接OA、OB，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣80°＝100°，
由圆周角定理得，∠ACB=1/2∠AOB＝50°；
8．（2019·天津）已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB＝80°，C为⊙O上一点．
（Ⅰ）如图①，求∠ACB的大小；
（Ⅱ）如图②，AE为⊙O的直径，AE与BC相交于点D．若AB＝AD，求∠EAC的大小．
【答案】（Ⅱ）连接CE，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ACE＝90°，
∵∠ACB＝50°，
∴∠BCE＝90°﹣50°＝40°，
∴∠BAE＝∠BCE＝40°，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝70°，
∴∠EAC＝∠ADB﹣∠ACB＝20°．
9．（2019·白银）如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的√2倍，则∠ASB的度数是（ ）
A．22.5° B．30° C．45° D．60°
【答案】解：设圆心为O，连接OA、OB，如图，
∵弦AB的长度等于圆半径的√2倍，
即AB=√2OA，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，
∴∠ASB=1/2∠AOB＝45°．
故选：C．
10．（2019·金华）如图，在▱OABC中，以O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点B，与OC相交于点D．
（1）求(BD) ̂的度数．
（2）如图，点E在⊙O上，连结CE与⊙O交于点F，若EF＝AB，求∠OCE的度数．
【答案】解：（1）连接OB，
∵BC是圆的切线，∴OB⊥BC，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA∥BC，∴OB⊥OA，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠ABO＝45°，
∴(BD) ̂的度数为45°；
（2）连接OE，过点O作OH⊥EC于点H，设EH＝t，
∵OH⊥EC，
∴EF＝2HE＝2t，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB＝CO＝EF＝2t，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴OA=√2t，
则HO=√(OE^2-EH^2 )=√(2t^2-t^2 )=t，
∵OC＝2OH，
∴∠OCE＝30°．
备注：勾股定理
11．（2019·邵阳）如图1，已知⊙O外一点P向⊙O作切线PA，点A为切点，连接PO并延长交⊙O于点B，连接AO并延长交⊙O于点C，过点C作CD⊥PB，分别交PB于点E，交⊙O于点D，连接AD．
（1）求证：△APO～△DCA；
（2）如图2，当AD＝AO时
①求∠P的度数；
【答案】（2）如图2，连接OD，
①∵AD＝AO，OD＝AO
∴△OAD是等边三角形
∴∠OAD＝60°
∵PB∥AD
∴∠POA＝∠OAD＝60°
∵∠PAO＝90°
∴∠P＝90°﹣∠POA＝90°﹣60°＝30°
备注：特殊三角形，特殊度数30°
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