【方法说明】
过平面内一点作已知直线的垂线的辅助线添加方法叫做垂直.
【方法归纳】
1、如图,通过垂直构建三角形的高(常用于求三角形面积).
2、如图,两直线垂直,通过作另一条直线的垂线可以构造平行线.
3、如图,通过作一个角的平分线的垂线可以平分它的邻补角.
4、如图,角平分线上的点往两边作垂线.
5、如图,等腰三角形作底边上的高(“三线合一”).
6、如图,通过过圆心作一条弦的直线可以平分弦,及其所对的弧(垂径定理).
7、如图,证明一条直线是圆的切线时,常过圆心作已知直线的垂线.
8、如图,过直角三角形一边上的点作一直角边的垂线可以构造相似三角形.
【典型例题】
1.(08广州)如图,扇形OAB的半径OA=3,圆心角∠AOB=90°,点C是弧AB上异于A,B的动点,过点C作CD⊥OA于点D,作CE⊥OB于点E,连接DE,点G,H在线段DE上,且DG=GH=HE.
(1)求证:四边形OGCH是平行四边形;
(2)当点C在弧AB上运动时,在CD,CG,DG中,是否存在长度不变的线段?若存在,请求出该线段的长度;
(3)求证:CD2+3CH2是定值.
【思路点拨】
(1)连接OC,易得四边形ODCE是矩形.根据矩形的对角线互相平分和DG=GH=HE,得四边形CHOG的对角线互相平分,即可得出四边形OGCH是平行四边形;
(2)因为四边形ODCE是矩形,所以DE=OC,又因为CO为圆的半径,所以DE的长度不变,因此DG的长度不变;
(3)因为点C为动点,可以发现CD与CH的长度一直变化.若要求CD2+3CH2的值,则必须分别表示出CD2与3CH2.过C作CN⊥DE于N,设CD=x,根据等面积法以及勾股定理,可以表示出CH,即可得出CD2+3CH2的值.
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