四大基本辅助线之一垂直

【方法说明】

过平面内一点作已知直线的垂线的辅助线添加方法叫做垂直．

                            

【方法归纳】

1、如图，通过垂直构建三角形的高（常用于求三角形面积）．

   

2、如图，两直线垂直，通过作另一条直线的垂线可以构造平行线．

    

3、如图，通过作一个角的平分线的垂线可以平分它的邻补角．

    

4、如图，角平分线上的点往两边作垂线．

5、如图，等腰三角形作底边上的高（“三线合一”）．

    

6、如图，通过过圆心作一条弦的直线可以平分弦，及其所对的弧（垂径定理）．

7、如图，证明一条直线是圆的切线时，常过圆心作已知直线的垂线．

    

8、如图，过直角三角形一边上的点作一直角边的垂线可以构造相似三角形．

   

【典型例题】

1．（08广州）如图，扇形OAB的半径OA＝3，圆心角∠AOB＝90°，点C是弧AB上异于A，B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连接DE，点G，H在线段DE上，且DG＝GH＝HE．

（1）求证：四边形OGCH是平行四边形；

（2）当点C在弧AB上运动时，在CD，CG，DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；

（3）求证：CD²＋3CH²是定值．

【思路点拨】

（1）连接OC，易得四边形ODCE是矩形．根据矩形的对角线互相平分和DG＝GH＝HE，得四边形CHOG的对角线互相平分，即可得出四边形OGCH是平行四边形；

（2）因为四边形ODCE是矩形，所以DE＝OC，又因为CO为圆的半径，所以DE的长度不变，因此DG的长度不变；

（3）因为点C为动点，可以发现CD与CH的长度一直变化．若要求CD²＋3CH²的值，则必须分别表示出CD²与3CH²．过C作CN⊥DE于N，设CD＝x，根据等面积法以及勾股定理，可以表示出CH，即可得出CD²＋3CH²的值．