【数学思想系列】如何转化矛盾

化归与转化思想是指在研究解决数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略．数学题中的条件与条件、条件与结论之间存在着差异，差异即矛盾，解题过程就是有目的地不断转化矛盾，最终解决矛盾的过程．

【典型例题】

例9．（15长春）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x²－2x＋2上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为      ．

【解析】

解：∵y＝x²－2x＋2＝（x－1）²＋1，∴抛物线的顶点坐标为（1，1），

∵四边形ABCD为矩形，∴BD＝AC，而AC⊥x轴，∴AC的长等于点A的纵坐标，

当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，

∴对角线BD的最小值为1．

故答案为1．

【总结】求线段BD的长度可以转化为求AC的长度．

【举一反三】

例10．（14山西）一走廊拐角的横截面积如图所示，已知AB⊥BC，AB∥DE，BC∥FG，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m，弧EF的圆心为O，半径为1m，且∠EOF＝90°，DE、FG分别与⊙O相切于E、F两点．若水平放置的木棒MN的两个端点M、N分别在AB和BC上，且MN与⊙O相切于点P，P是弧EF的中点，则木棒MN的长度为     m．

【解析】

解：连接OB，延长OF，OE分别交BC于H，交AB于K，

∵DE、FG分别与⊙O相切于E、F两点，∴OE⊥ED，OF⊥FG，∵AB∥DE，BC∥FG，

∴OK⊥AB，OH⊥BC，∵∠EOF＝90°，∴四边形BKOH是矩形，

∵两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m，⊙O半径为1m，∴OK＝OH＝2，

∴矩形BKOH是正方形，∴∠BOK＝∠BOH＝45°，

∵P是弧EF的中点，∴OB经过P点，