杨俊——二阶线性递推数列求通项

二阶线性递推数列求通项

广东广州    杨俊

    形如a_n+2=pa_n+1+qa_n这种形式的递推数列我们称之为二阶线性递推数列,鼎鼎大名的斐波那契数列则是其中的一种情况,这里我们会介绍这个类型的三种情况.注意,这个内容已经是高中数列的最高层次的内容了,已经远远超过了高考对数列的要求,只适合于对数列特别有兴趣的学生和老师研究和掌握。

    这里是第一种情况,对应的特征方程的判别式大于0的情况,也是最为常见的情况，下面，我们用这个方法来解决斐波那契数列的通项公式。

    这个通项公式神奇的地方在于里面明明含有两个无理数,但每一项的结果算出来却都是整数。

    有人会问了：老师,这个数列是每6项一循环的结构,它的前6项目写出来明明就是1,2,1,-1,-2,-1怎么从你的通项公式里面看不到这一点呢？能提出这个问题的是学生很不错,这里,我们使用一个定理就能很清晰的看出这点来了。

    也就是说,当特征方程的判别式是小于零时,如果特征根写成复数的三角形式时,其模为1,且辐角恰好是π/n的结构时,就会出现周期数列的情形。

例5:已知a_n+2=2a_n+1-3a_n且a₁=0,a₂=1,求数列{a_n}的通项公式。

    看到这里,聪明的读者是不是可以仿造上一个例题自己把该数列的通项公式求出来了,注意到:这里由于特征根的三角形式的模不是1,辐角也不能写成π/n的结构,故该数列不是周期数列.

    总结：对于二阶线性递推数列求通项公式，主要是根据其特征方程的判别式和0的关系，会有三种不同情况的变形,而其中最特殊的一种会产生周期数列。判别式等于0的情况其通项公式比较特殊,需要重点记忆,其他两种其实可以归纳为同一种结构来记忆。