最值问题之挪移构造

己亥杂诗

龚自珍

九州生气恃风雷，万马齐喑究可哀。

我劝天公重抖擞，不拘一格降人才。

在鸦片战争前一年，龚自珍喊出了要不拘一格降人才，前面我们提到了轴对称、平移、旋转等方法求解最值问题，那是不是要拘于一格用这些方法呢？并不是的，今天我们就来看看另一类看似不那么套路化的解题思路，也就是不拘一格造全等！

基本问题：

如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点E，F分别是边BC、BD上的两动点，且BE=DF， 则AE+AF的最小值为多少？

解题障碍：八字打不了一杆，平移对称旋转好像都不能用。建系的方法做好像还算不了。

动态情形：

解题之道：折转直

解题之术：挪移构造全等三角形

解题之本：利用两线段相等构造全等三角形，实现线段的转移。简记为线段相等造全等。注意区分线段相等造个圆。

题目中AF+AE就变成了GE+AE，也就是问从点G怎么到点A最短，图中要经过线段BC。

至于怎么找到点G，利用SAS全等就可以找到点G，实际思考方向就是将三角形ADF挪移到△BEG位置

动态解析：(细节解析略)

问题生长

问题：求解其他元素呢，例如cos∠EAF(选自广猛说题)

问题：改造条件，若DF=2BE,求解2AE+AF的最小值(选自广猛说题)

问题：改造背景，若背景变成三角形呢

中考真题

（2013·天津）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），点B（0，4），点E在OB上，且∠OAE=∠0BA．

（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；

（Ⅱ）如图②，将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′，连接A′B、BE′．

①设AA′=m，其中0＜m＜2，试用含m的式子表示A′B²+BE′²，并求出使A′B²+BE′²取得最小值时点E′的坐标；

②当A′B+BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可）．

（2015年天津市3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A， B， C， D均在格点上，点E， F分别为线段BC，DB上的动点，且BE =DF.

（Ⅰ）如图①，当BE =5/2时，计算

的值等于               ；

（Ⅱ）当

取得最小值时，请在如图②所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段AE，AF，并简要说明点E和点F的位置是如何找到的（不要求证明）　　　　　　　.

著名作家萧伯纳曾说过：

你有一个苹果，我有一个苹果，彼此交换，我们仍然是一个苹果；但你有一种思想，我有一种思想，彼此交换，我们就都有了两种思想，甚至更多。

欢迎加微信，相互交换：

码字不易，好看请转发、收藏或点击“在看”