【一题多解】12法突破2020河南中考压轴小题

来源：播睿智数学（ID：boruizhishuxue）

2020河南中考压轴小题的多中解法

王 桥

2020年河南第14题，是一道压轴小题。这道题目虽然不算很难，但是却很有欣赏价值。题目如下：

如图，在边长为2√2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为____________．

我们先做一些基础工作。

由正方形ABCD的边长为2√2，以及E、F分别为AB、BC的中点，易求得BE=BF=AE=EC=√2，EC=FD=√10。而又因为G、H分别为EC、DF的中点，则EG=GC=DH=HF=√10/2。我们还可以证明△EBD≌△FCD，进而可以证明EC⊥DF。

根据题目的特点和我们在上面挖掘出的相关信息，我们可以尝试以下的方法：

策略一：直接求

方法1：如图1，我们把DF和EC的交点记作O，在Rt△CDF中，根据面积法有FC·CD=FD·CO，则可求得CO=2√10/5，则OF=√10/5，所以HO=HF-OF=√10/2-√10/5=3√10/10，GO=GC-OC=√10/2-√10/5=√10/10，在Rt△HGO中，根据勾股定理即可求得GH=1.

方法2：如图2，也可通过连接HC，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，则HC=HF=√10/2，在Rt△HOC中根据勾股定理求得HO=3√10/10，后面解法同解法1。

策略二：中位线策略

遇中点，构造中位线是通法。以下是几种常见的中位线的构造方法，证明方法略。

方法3：如图3，连接CH并延长CH交AD于M，连接EME；

方法4：如图4，连接DG并延长，交AB的延长线于点M，连接FM。

方法5：如图5，连接BD，连接FG并延长，交BD、AD于M、N。

方法6：如图6，连接CH并延长交AD于N，连接NG并延长到M，使GM=VG，连接MC。

方法7：如图7，连接EH并延长EH到M，使得HM=EH,连接MC。

策略三：“斜化正”策略

方法8：如图8，连接GF，作HM⊥BC于M，作GN⊥HM于N。

方法9：如图9，连接EH，连接FG并延长交EH于点M。

方法10：如图10，连接EH，过点G作GN⊥AB于N，GM⊥EH于M。

方法11：如图11，作GM⊥AD于M，HN⊥AD于N，HP⊥GM与P。

方法12：如图12，连接EH并延长，交CD于点N，作GM⊥CD于M，HP⊥GM与P。

其实，这道题目我们还可以找出更多的解法。譬如“建系法”“12345模型法”等等。正所谓：横看成岭侧成峰，远近高低各不同。但怎样能够在解题过程中，总结出解决问题的通法，或者在解决问题的过程中，迅速找到解决问题的最简捷最有效的特法，则是数学教学中永远追求的目标和主题。

---

金榜题名

青春无悔  奋斗最美

中考加油

最近是各地中考季，

这也意味着初二的孩子们就要升入初三了，

最后150余本《领跑数学》为您助力，

三种购买方式任意挑选：