例谈求动点运动路径长问题

编者按

近年来，各地中考试题中不断出现有关求动点运动的路径长问题，隐含了解析几何“求点的运动轨迹方程”的雏形。这类题目中，条件点随整个几何图形的运动而运动，其背景模糊，轨迹不明，计算繁杂，造成学生的解题思路受阻。这类题目常设计为填选压轴题，，显得极为重要，从动点所经过的路径来分类，常见的有线段和圆弧。本文拟通过典型中考试题加以解析。探究这类问题的解题思路。

原题呈现

线段型路径

（2018荆门）如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（　　）

中垂线定轨迹

根据“直角三角形斜边中线，等于斜边一半”易知MQ=MC，故点M在线段AC的垂直平分线上，当点P与点C重合时，点M在点H处，当点P与点A重合时，点M在点G处，故点M的运动路径长也就是△ACB的中位线GH的长。故点M的运动路径长=1/2AB=1.

中位线定轨迹

构造如图矩形PCQN，有PQ=CN，故问题可转化为动点N从A到B运动，其中点M的运动路径长为多少？显然当N与A重合时，点M与AC的中点K重合，在运动过程中始终有M为NC的中点，故KM=1/2AN，所以点M的运动路径长就等于点N运动路径长的一半。问题得解。

旋转相似定轨迹

过点O作OK⊥AC，易证△OKM∽△OAP，且相似比为1：√2，故点P运动的路径长等于点M运动路径长的√2倍，由AB=2，可求得AC=√2，则M运动路径长为1.

圆弧型路径

如图，在等腰直Rt△ABC中，AC＝BC＝√2，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点.当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为____.

连接CO取其中点D，根据中位线性质有DM=1/2PO，由题意易求PO=1，故DM=1/2，点D为定点，DM为定长，故点M运动轨迹为圆弧，应为主动点P在半圆上运动，故从定点M运动轨迹长是D为圆心，半径为1/2的半圆弧长。

初中数学中动点轨迹的问题，一般有两种情况：线段或圆弧．在研究此问题时，可以分三步：

(1).利用函数描点法大胆猜想:即对目标点描出它的起点、中点、末点时的位置，连接起来，猜想它是什么形状；

（2）寻找不变量，严格证实猜想：

在运动中寻找不变的量，即不变的数量关系或位置关系．如果动点的轨迹是一条线段，那么其中不变的量便是该动点到某条直线的距离始终保持不变；如果动点的轨迹是一段圆弧，则该动点到某个定点的距离始终保持不变．因此，解决此类动点轨迹问题便可转化为寻找定直线或定点.

（3）利用特殊值算出动点路径长

动点轨迹往往是直线或者圆的一部分。①线段。当动点到某条直线或线段的距离相等时，动点的轨迹很可能是条线段；②当动点是一个固定角的顶点时，轨迹很可能是条弧。③当动点到某定点的长度一定时，轨迹是一条圆弧.

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