从一道经典几何题来欣赏几何证明的方法（2）

王  桥

上回书咱们说到，一道经典的几何题目带给我们的一些思考：

1、条条大路通罗马——一道题目可以有多种思考策略，总有一条适合你；

2、正难则反——学会倒着想——直接证法不行可以尝试间接证法（您听说过哪些间接证法）；

3、原命题成立，逆命题不一定成立；原命题的证明思路不一定就和逆命题的证明思路也是互逆的；

......

今天，我们再换两个角度（类比视觉和拓展视觉）来欣赏这道题，不过这次咱们只欣赏第一问。

【原题】：如图1，已知正方形ABCD 中，点E是AB边上一动点，连接DE。

（1）若BG为∠B的外角∠CBM的平分线，作EF⊥DE交BG于点F，则ED=EF；

（2）若BG为∠B的外角∠CBM的平分线，在BG上截取EF=ED，则∠DEF=90°；

（3）若BG为∠B的外角∠CBM的平分线，在BG上截取EF=ED，则∠DEF=90°；

一、类比视觉

这种结论能否类比到正三角形、正五边形、正六边形.......正n边形呢？

【类比1】：如图2，已知正方形ABC中，点E是AB边上一动点，连接CE。若BG为∠B的外角∠CBM的平分线，作∠CEF=∠A=60°，EF交BG于点F，则EC=EF；

【类比2】：如图3，已知正五边形ABCDP 中，点E是AB边上一动点，连接CE。若BG为∠B的外角∠CBM的平分线，作∠PEF=∠A=108°，EF交BG于点F，则EP=EF；

......

【类比n】：已知正n边形ABCD...P 中，点E是AB边上一动点，连接CE。若BG为∠B的外角∠CBM的平分线，作∠PEF=∠A=180°-360°/n，EF交BG于点F，则EP=EF.

上面这些，都属于相似结构类比出的相似结论。那么，我们能否类比证明方法呢？

今天咱不讲一题多解，咱以上回书提到的“四点共圆”法为基本证明方法，以正五边形为例来进行证明。

如图4，连接PB、PF，则易证∠PBF=∠PEF=108°，∴“P、E、B、F四点共圆”，∴∠PFE=∠PBE=∠FPE=36°，∴EP=EF。

我们还可以类比这种解法，证明任意正n边形的类似的这条结论——这种类比证明，几何上也叫“同理”。

原来，正方形只不过是正多边形的一个特例而已......

我们甚至可以类比上回书例1的（2）（3）结论，得出正三角形、正五边形、正六边形......正n边形的类似的与结论（1）互逆的（2）（3）结论成立，当然也可以类比上回书提到的（2）（3）的证明方法来进行证明。

学会类比，触类旁通——类比推理的功能可谓强大矣！（关于类比，咱们在《冲刺十招》里面有专门一讲“触类旁通学类比”讲述）。

二、拓展视觉

【拓展1】——横向拓展

如图5、图6，在原题中，若点E为直线AB上一动点，上述结论（1）（2）（3）还成立吗？

显然，这些结论仍然成立！

你会通过类比，进行证明吗？

显然，运用上回书提到的各种策略，都可以证明！——再一次体会到类比的强大功能！

【拓展2】——纵向拓展

如图7、图8、图9，若把正方形变为矩形，点E为直线AB上一动点，BG⊥BD。

结论（1）：矩形ABCD中，若AB:AD=m:n，点E为直线AB上一动点，若DE⊥EF交BG于F，则EF:DE=m:n；

结论（2）：矩形ABCD中。若AB:AD=m:n，点E为直线AB上一动点，F为BG上一点，且EF:DE=m:n，则DE⊥EF；

结论（3）：矩形ABCD中，若AB:AD=m:n，点E为直线AB上一动点，若将DE绕着点E顺时针旋转90°，且满足EF:DE=m:n，则点F在BG上；

显然，这些结论仍然成立。我们还以问题（1）为例，进行证明——以下证明对于以上三个图形都适合——我们这次以图9为例进行说明。

如图10，∵∠DEF=∠DBF=90°，则“D、E、F、B四点共圆”，则∠EFD=∠ABD。∵∠DEF=∠DAB=90°，∴△DEF∽△DAB，∴EF:ED=AB:AD=m:n。

原来，正方形仅仅是矩形的一种特例而已，△DEF和△DAB手拉手相似才是根本......

【拓展3】——空间拓展

再回到最原始的状态，如图10，已知正方形ABCD 中，点E是AB边上一动点，连接DE。若BG为∠B的外角∠CBM的平分线，作EF⊥DE交BG于点F，连接DF交BC于点H，连接EH，则......

（1）EH=AE+CH；

（2）△EHB的周长等于2AB；

（3）DE平分∠AEH，DH平分∠EHC；

（4）如图11，连接AC分别交DE、DH于M、N，则MN²=AM²+CN²；DN²=NM·NA；DM²=MN·MC；

（5）如图12，若连接NE、MH，则DN=NE，DN⊥NE；DM=MH，DM⊥MH；EH=√2MN

......

怎么看着这么眼熟呢？——哈哈，这不是“倍角含半角模型”吗？（详见一轮培优之《春季攻势》第12讲——“对角互补与半角模型”及二轮培优之《冲刺十招》第5招——“胸有成竹会建模”）

最后来两个小花絮......

花絮一：

16号早上刚刚推出了上篇《一道经典几何题来欣赏几何证明的方法（1）》一文，16号上午即有幸参加了翰墨林教育陈合校长组织的“小题也疯狂”小型研讨会，研讨的主题是“特殊的平行四边形”，其中第4题（后面联系2）就可直接套这个题的模型，很有点巧合的味道；更加难能可贵的是，今天上午在群里，立体教学法朱建国老师对这道题目的证明方法找出了18种之多......

花絮二：

16号晚22:00左右，打开公众号，看到一个网友留言：这篇文章大部分内容出自《从分析解题过程学解题——竞赛中的结合问题研究》一书，见本书20——30页。哈哈！难道真的这么巧合吗？

说句实在话，还真的没有见过这本书。赶紧百度，搜索，果断下单——老王又亲身体验了一次“英雄所见略同”的感觉！！！

最后声明一点：本公众号所有内容，若非特殊说明，均为本人原创，欢迎妆发分享。若有雷同，纯属巧合☺！若需转载，请联系老王。

读了这两篇文章，后面这几道题目，有兴趣的朋友的时候可以玩玩！！！

1、在正方形ABCD中，点P时正方形的边BC上一点，过点P作QP⊥PA，交∠DCE的平分线于点Q，连接AQ，当BP=1，AP=3时，AQ=        ；

2、如图，在正方形ABCD中，AB=2，点M为正方形ABCD的边CD上的动点（与C、D不重合），连接BM，作MF⊥BM，与正方形ABCD的外角∠ADE的平分线交于点F，设CM=x，△DFM的面积为y，则y与x之间的函数关系为         ； 

3、如图1，E是正方形，BCD的边AB上的一点,过点E作DE的垂线交∠ABC的外角平分线于点F,求证:FE=DE.
小韬同学是一位聪明好学而且有钻研精神的同学,他发现∠DEF=∠DBF=90°,于是可以得到B、F、D、E四点共圆.
(1)请你帮小韬同学确定该圆的直径为_________;
(2)请在图1中作出该圆.小韬同学发现弧DE对两个圆周角∠DBE=∠DFE=45°,于是△DEF为等腰直角三角形,于是不用证全等就证明了FE=DE;
(3)通过以上材料解决下列问题,△ABC是等边三角形,D为边BC上一点,∠ADE=60°,DE交∠ACB的外角平分线于点E,于是猜测AD___DE（“>”“=”或“<”）,并证明你的结论.—选自《春季攻势》第14讲“圆与辅助圆”

4、（2019甘肃庆阳）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：

例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM＝MN．求证：∠AMN＝60°．

点拨：如图②，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM＝EM，∠1＝∠2；又AM＝MN，则EM＝MN，可得∠3＝∠4；由∠3+∠1＝∠4+∠5＝60°，进一步可得∠1＝∠2＝∠5，又因为∠2+∠6＝120°，所以∠5+∠6＝120°，即：∠AMN＝60°．

问题：如图③，在正方形A₁B₁C₁D₁中，M₁是B₁C₁边上一点（不含端点B₁，C₁），N₁是正方形A₁B₁C₁D₁的外角∠D₁C₁H₁的平分线上一点，且A₁M₁＝M₁N₁．求证：∠A₁M₁N₁＝90°． 

5、如图1，四边形ABCD是正方形，E是BC边的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角平分线CF于F点，则有AE=EF．
（1）如图2，若点E是线段BC上的一个动点（不与B、C重合），上述其它条件不变，上述结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（2）如图3，若点E在CB的延长线上时，上述其它条件不变，上述结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

6、 如图，已知正方形ABCD，M是BC边上一点，连DM，作MN⊥DM交∠CBE的平分线于N.

（1）求证：MN = MD；

（2）连DN交BC于F，求证：MN平分∠FME；

（3）已知正方形ABCD的边长为4，若AM = 3，求BN 。 

7、（2013孝感）如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．
（1）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；
（2）如图2，若点E在线段BC上滑动（不与点B，C重合）．
①AE=EF是否总成立？请给出证明；
②在如图2的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线y=-x²+x+1上，求此时点F的坐标． 

8、（1）如图1，正方形ABCD中，E是BC边的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于F点，判断线段AF与EF的数量关系，说明你的理由；

（2）如图2，若点E在BC的延长线上，其它条件不变，线段AF与EF的数量关系发生变化吗？若不变，说明你的理由，如变化，求出变化的范围；

（3）如图3，若点E在CB的延长线上，其它条件不变，线段AF与EF的数量关系发生变化吗？说明你的理由。

关于《沙场秋点兵》的说明：

  由于精力所限，目前《沙场秋点兵》仅推出了北师版、华师版和人教版，其他版本暂不考虑整理。希望大家在使用过程中多提宝贵建议，以期打造出更好的产品。

《春季攻势》和《冲刺十招》因是配合一轮和二轮的，是通用版本。