将军饮马问题

原理：

l和最小：

1、两点之间线段最短

2、垂线段最短

3、三角形三边关系

l差最大：

1、三角形三边关系

2、圆上动点

l差最小：

1、中垂线

2、绝对值的代数意义

211模型：两定点A,B+一定直线+一定点（在定直线上运动）

处理策略：将定点关于动点所在直线对称

一、两定点在定直线同侧，线段的和差最大和最小问题

1.1 |PA-PB|最大

处理策略：大同，即线段差的最大时，两定点为同侧共线

问题：定点A和B，分别在直线同侧，动点P在直线上，求|PA-PB|最大

辅助线:P在线段BA的延长线（共线）上结论：|PA-PB|_最大=AB

1.2 |PA-PB|最小

处理策略：作中垂线

问题：定点A和B，分别在直线同侧，动点P在直线上，求|PA-PB|最小

辅助线：垂直平分线结论：PA-PB|=0

1.3 PA+PB最小值

处理策略：小异，即线段和最小，两定点转化为异侧

问题：定点A和B，分别在直线同侧，动点P在直线上，求PA+PB最小

辅助线：作B关于定直线对称点B’ 原理：两点之间线段最短

二、两定点在定直线异侧的和差最大和最小

2.1 |PA-PB|最小

处理策略：作中垂线

问题：定点A和B，分别在直线两侧（异侧），动点P在直线上，求|PA-PB|最小

辅助线：中垂线结论：|PA-PB|=0

2.2 |PA-PB|最大

处理策略：大同，即线段差的最大时，两定点转化为同侧共线

问题：定点A和B，分别在直线两侧（异侧），动点P在直线上，求|PA-PB|最大

辅助线：作A关于定直线对称点，BA’射线交定直线P’ 结论：|PA-PB|_最大=A’B

2.3 |PA+PB|最小

处理策略：小异，即线段和最小，两定点为异侧

问题：定点A和B，分别在直线两侧（异侧），动点P在直线上，求PA+PB最小

辅助线：连接AB 原理：两点之间线段最短

三、一定点在角度内线段最值

3.1、将军饮马

处理策略：两次对称，两次将军饮马

问题：在∠ABC内，有两定点P，动点E和F分别在AB,BC上，BP=a，求C_△PEF的最小时，∠EPF与∠ABC的关系？ ∠ABC=α=30°时，求C_△PEF

公式：∠？=180°-2α

特别地，当α为30°时，��BP’P’’为等边三角形，��EFP周长最小=BP

3.2、将军饮马+垂线段最短

处理策略：先对称再垂直

问题：在∠ABC内，有两定点P，动点H在BC上，G在AB上，且HG⊥AB,求PH+HG最小？

P’G⊥AB

3.3两点在角度内线段最值

处理策略：两动点分别关于定直线对称

问题：在∠ABC内，有两定点P和Q，动点I和J分别在AB,BC上，求四边形QIJP周长最小

处理策略：将两定点关于定直线对称，即将 Q关于AB对称为Q1，P关于BC对称为P1，然后四点Q,Q1,P,P1共线。

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