【初中数学】反比例函数策略之一 ——数形结合

反比例函数策略（一）

——数形结合

（王  桥）

反比例函数本身的相关知识点并不是很多，但是当反比例函数的问题和一次函数、相似、面积等知识结合起来，题目就比较精彩了。那么，解决反比例函数的综合题目，也要掌握相应的策略。

今天先来谈谈解决反比例函数的策略一——数形结合。

“数”和“形”是事物的两个属性，“数形结合思想”也是最重要最基本的数学思想方法之一。解决反比例函数的综合压轴题目，更要学会灵活运用“数形结合思想”。

“数形结合”的第一个方面：看到了反比例函数的解析式，要迅速在头脑中勾画出反比例函数的图像特征；看到了反比例函数的图像，应迅速知道反比例函数的解析式的特点；

“数形结合”的第二个方面：看到了反比例函数图像上点的坐标，要迅速知道该点到两坐标轴的距离；看到了反比例函数图像上的铅垂线段和水平线段，要迅速把铅垂线段和水平线段用点的坐标表示出来

例1、（2018江西）在平面直角坐标系中，分别过点A（m，0），B（m+2，0）作x轴的垂线l₁和l₂，探究直线l₁，直线l₂与双曲线y=3/x的关系，下列结论错误的是（　　）——选自《沙场秋点兵》第7讲“反比例函数与一次函数及特殊几何图形的综合”

A．两直线中总有一条与双曲线相交

B．当m=1时，两直线与双曲线的交点到原点的距离相等

C．当﹣2＜m＜0时，两直线与双曲线的交点在y轴两侧

D．当两直线与双曲线都有交点时，这两交点的最短距离是2

分析：这道题目，不画函数的图像是很不好理解的。我们不妨先画出反比例函数的图像，如图1所示。

我们知道，反比例函数的图像y轴的“渐近线”，是无限接近的，而因为l₁、l₂均垂直于x轴，且它们之间的距离为2，则这两条直线中必有一条与反比例函数相交，除非其中一条和y轴重合时，另一条和双曲线相交有一个交点，其余情况下，必和双曲线有两个交点。故A正确；

当m=1时，l₁为x=1，l₂为x=3。如图2所示，两直线与双曲线的交点分别为M（1，3），N（3，1），根据勾股定理，显然AO=BO=√10，B正确；

关于C的判断，我们除了要运用好“数形结合思想”，还要运用好“极端化思想”。当l₂和y轴重合时，如图3，即m+2=0，此时m=-2；当l₁和y轴重合时，如图4，即m=0。所以当﹣2＜m＜0时，两直线与双曲线的交点在y轴两侧，C正确；

至此，我们用排除法即可知，应选D。

但，D为什么错误呢？还真的不太好说明。没关系，数形结合，画图像。如图5——7，分别画出双曲线和直线l1、l2有两个交点的三种情况，显然△MPN为直角三角形，两个交点之间的距离是MN为斜边，而图5中的PN，图6和图7中的MP都是2，显然在一个直角三角形中斜边大于直角边，则MN>2，D错误。

如果例1说明了在题目中没有图像时，借助函数图像，能够形象的揭示出图形和数量之间的关系的话，那么对于本来就有图形的题目，就更应该注重“数形结合思想”了。

例2、（2019山东菏泽）如图8，□ABCD中，顶点A的坐标是（0，2），AD∥x轴，BC交y轴于点E，顶点C的纵坐标是﹣4，□ABCD的面积是24．反比例函数y=k/x的图象经过点B和D，求：

（1）反比例函数的表达式；

（2）AB所在直线的函数表达式．——选自《沙场秋点兵》第7讲“反比例函数与一次函数及特殊几何图形的综合”

解析：这道题目不算难题，但是如果对于没有“数形结合思想”的话，会感觉无从下手。如果能够灵活运用“数形结合思想”，则问题迎刃可解。

（1）已知点A（0，2），则可知OA=2；点C的纵坐标是-4，则可知OE=4，则AE=6。由点的坐标得到线段的长都是由“数”到“形”的转化；∵£ABCD的面积是24，根据坐标平面内平行四边形的面积公式——水平宽×铅垂高，显然，AD˙AE=24，则AD=4，∴点D（4，2），则反比例函数解析式为y=8/x；

（2）由反比例函数解析式为及点B的纵坐标为-4，易求得B（-2，-4），则可求得AB的解析式为y=3x+2；

:例3、双曲线y₁=6/x与y₂=k/x在第一象限内的图象如图9．作一条平行于x轴的直线交y₁，y₂于B、A，连OA，过B作BC∥OA，交x轴于C，若四边形OABC的面积为3，求k。——选自《沙场秋点兵》第7讲“反比例函数中的面积问题”

解析：要善于利用双曲线上的点向坐标轴所做的矩形（形）的面积等于双曲线上的点的横纵坐标（数）的绝对值来解决问题。

如图10，过点B作BE⊥x轴于点E，∵，则矩形DBEO的面积为6。易知四边形OABC为平行四边形，则AO=BC，又因为OD=BE，则△ADO≌△CEB，则S_△ADO=S_△CEB=|k|/2 。∵四边形OABC的面积为3，则S_△ADO=S_△CEB=|k|/2=3/2，所以|k|=3，k=3。

“数”与“形”，如影相随，形影不离，以“数”释“形”，精确；以“形”助“数”，直观。数形结合，相得益彰，在解决反比例函数的相关题目中不失为最基本的策略之一。

【来源】播睿智数学。

（5）本公众号对优秀作者和名师一般会附上“作者简介”，以让广大读者更好地了解作者的研究成果和方向，以便进一步学习作者的相关数学思想或解题方法。