等腰直角三角形旋转产生的平行问题解法

下面分析昨天题目的解法。

【题目】

如图，点D为等腰直角△ABC内部的一点，∠ABD=∠BCD，将点A绕点D逆时针旋转90°至点E，求证：BE∥CD。

【分析】

本题难度不大，但是容易受到手拉手模型的影响，形成思维定势。

总想去证明△ABE≌△CBD。

但是就是证明不出来。

换个角度思考即可。

证明平行，则考虑证明内错角相等。

图中有较多的90°，且有两个等腰直角三角形。可以考虑构造三垂直。

过点A作BD的垂线，可以得到两组三垂直。结论得证。

图1

图2

【解法简述】

【方法一】

由已知∠ABD=∠BCD与∠ABC=90°得∠BDC=90°。

又因为∠F=90°，

则可以得到∠ABD=∠BCD，

∠F=∠BDC，

且又有AB=BC，

那么△ABF≌△BCD（AAS）。

可得AF=BD，

又因为AD=DE，

所以只需证明∠BDE=∠DAF即可。

由于∠ADE=∠F=90°，

所以该结论成立。

可以得到△ADF≌△DEB（SAS）。

那么就可以得到∠DBE=90°=∠BDC，

结论得证。

【方法二】

依然考虑构造全等。

在CD上取一点F，使得DF=DB，连接EF。

还是根据∠ABD=∠BCD与∠ABC=90°得∠BDC=90°。

又因为∠ADE=90°，

所以∠ADB=∠EDF，

然后根据AD=DE，DB=DF，

可以证明△ADB≌△EDF（SAS），

这样就可以得到EF=AB=BC，∠DAB=∠DEF，

那么就可以得到AB与EF的夹角为90°，

所以可以得到EF∥BC，

也就是说四边形BCFE为平行四边形，

那么BE∥CF。结论得证。