课本习题改编的中考题

【追本溯源·触类旁通】

【题目】

如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．
（1）求证：GF=GC；
（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．

证明：（1）如图1，连接DF，

∵四边形ABCD是正方形，∴DA=DC，∠A=∠C=90°，

∵点A关于直线DE的对称点为F，∴△ADE≌△FDE，

∴DA=DF=DC，∠DFE=∠A=90°，∴∠DFG=90°，

在Rt△DFG和Rt△DCG中，

∵DF＝DC，DG＝DG，

∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL），∴GF=GC；

（2）BH=⎷2AE，理由如下：

【方法一】

如图2，在线段AD上截取AM，使AM=AE，

∵AD=AB，∴DM=BE，

由（1）知：∠1=∠2，∠3=∠4，

∵∠ADC=90°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°，

∴2∠2+2∠3=90°，∴∠2+∠3=45°，

即∠EDG=45°，∵EH⊥DE，

∴∠DEH=90°，△DEH是等腰直角三角形，

∴∠AED+∠BEH=∠AED+∠1=90°，DE=EH，

∴∠1=∠BEH，

在△DME和△EBH中，

∵DM＝BE，∠1＝∠BEH，DE＝EH，

∴△DME≌△EBH，∴EM=BH，

Rt△AEM中，∠A=90°，AM=AE，

∴EM=⎷2AE，∴BH=⎷2AE；

【方法二】

如图3，过点H作HN⊥AB于N，∴∠ENH=90°，

由方法一可知：DE=EH，∠1=∠NEH，

在△DAE和△ENH中，

∵∠A＝∠ENH，∠1＝∠NEH，DE＝EH，

∴△DAE≌△ENH，∴AE=HN，AD=EN，

∵AD=AB，∴AB=EN=AE+BE=BE+BN，

∴AE=BN=HN，∴△BNH是等腰直角三角形，

∴BH=⎷2HN=⎷2AE．

【母题溯源】

人教版数学·八年下·第十八章·复习题·第14题·P69

题目的结论把证明AE=EF，变为求CF与BE的关系，本题的关键还是在于证明AE=EF．

【变式一】

题目：如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，∠AEF＝90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．求证：AE＝EF．

【变式二】

题目：如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，在正方形外角的平分线CF上取一点F使得AE＝EF．

求证：∠AEF＝90°．