中考数学压轴题分析：相似三角形的存在性问题

相似三角形的存在性问题是一个难点，本文内容选自2020年荆州中考数学压轴题，主要是涉及的讨论比较多，因此需要细心。

【中考真题】

（2020·荆州）如图1，在平面直角坐标系中，，，以为圆心，的长为半径的半圆交延长线于，连接，，过作分别交和半圆于，，连接，．
（1）求证：是半圆的切线；
（2）试判断四边形的形状，并说明理由；
（3）如图2，若抛物线经过点且顶点为．
①求此抛物线的解析式；
②点是此抛物线对称轴上的一个动点，以，，为顶点的三角形与相似，问抛物线上是否存在一点．使？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由．

【分析】

题（1）证明切线，只需证明∠BCO=90°即可。先求点坐标得线段长，再利用勾股定理的逆定理进行证明。

题（2）先猜测，再证明。观察图形，易得该四边形为平行四边形。只需利用平行四边形的判定即可证明。可以直接求出四条边的长度再判断。

题（3）①待定系数法，设顶点式再代入求解。

题（3）②有两步，先求相似的问题，再求面积相等。由于△OAB的形状大小固定，因此只需要进行分类讨论，列出比例式即可。当点P确定时，直接以EP为底，那么就可以求出△EPQ中边EP上的高，然后求点Q的坐标就不难了。
【答案】（1）证明：如图1，设与轴交于，

，，
轴，且，，，
，
，是的中点，
是的中位线，
，，
，，
，
，
，
在中，，，
，
是直角三角形，且，
，
为半圆的直径，
是半圆的切线；
（2）解：四边形是平行四边形，理由是：
如图1，由（1）得：，
，
四边形是平行四边形；
（3）解：①如图2，由（1）知：，是的中点，且，，，
过作轴于，则，

，
，即，
，，
，
设此抛物线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
此抛物线的解析式为：，即；
②存在，
过作于，设的横坐标为，

，，
，
，
，且和都是锐角，
，

如图3，当时，，即，
，
，
，
，
即，
解得：或；
如图4，当时，，即，

，
同理得：，
解得：或；
综上，存在符合条件的点，点的横坐标为或或或．