中考数学压轴题分析：平行四边形的存在性问题

【中考真题】

（2020·广安）如图，抛物线与轴交于，两点，过点的直线交抛物线于点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点是线段上一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，求线段最大时点的坐标．
（3）点是抛物线上的动点，在轴上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由．

【分析】
题（1）求函数解析式代入点坐标。
题（2）求PE的最大值，需要设点坐标，表示处线段长，配方得到最大值即可。
题（3）就是常见的“两定两动”平行四边形存在性问题，用平移或者中点坐标公式进行解决即可。
【答案】解：（1）将，代入，
得到
解得，
．

（2）将点的横坐标代入，得，；
直线的函数解析式是．
设点的横坐标为，则、的坐标分别为：，；
点在点的上方，，
，
，
当时，的最大值，此时，．

（3）存在．
理由：如图，设抛物线与的交点为，由题意，

，
轴，，
当是平行四边形的边时，可得．
当是平行四边形的对角线时，，可得，
当点在轴的上方时，令，，
解得，
，，，， 
由平移的性质可知，，，．
综上所述，满足条件的点的坐标为或或，或，．

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