中考数学压轴题分析：平行四边形的存在性问题

本文内容选自2020年重庆中考数学B卷倒数第2题，题目涉及两定两动的平行四边形存在性问题。虽然题目较长，但是也是常规题目。难度比往年小了许多。

【中考真题】

（2020·重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点（点在点的左侧），且点坐标为，，直线的解析式为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点作，交抛物线于点，点为直线上方抛物线上一动点，连接，，，．求四边形面积的最大值及相应点的坐标；
（3）将抛物线向左平移个单位，已知点为抛物线的对称轴上一动点，点为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形的面积最大时，是否存在以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】

题（1）分别求出点B、C的坐标，连同A的坐标代入即可。

题（2）先求出直线AD的解析式，联立二次函数的解析式，然后得到点D的坐标。虽然求四边形的面积最大值，本质上是求△BCE的面积最大值。因为△BCD的面积是确定的。求△BCD的面积可以直接把点D平移值y轴上，用底乘高的方式即可得到面积。

题（3）先确定点B和E的坐标，然后设点M和N的坐标。利用平移或者中点坐标公式即可得到等量关系求解。
【答案】解：（1）直线的解析式为，令，则，令，则，
故点、的坐标分别为，、；
则，
即，解得：，
故抛物线的表达式为：①；

（2）如图，过点、分别作轴的平行线分别交于点，交于点，

，则设直线的表达式为：②，
联立①②并解得：，故点，，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
当时，，即点，，
设点，则点，
则四边形的面积，
，故有最大值，当时，的最大值为，此时点，；

（3）存在，理由：
，抛物线向左平移个单位，
则新抛物线的表达式为：，
点、的坐标分别为，、，；设点，，点，；
①当是平行四边形的边时，

点向右平移个单位向上平移个单位得到，同样点向右平移个单位向上平移个单位得到，
即，
则或，
故点的坐标为，或，；
②当是平行四边形的对角线时，

由中点公式得：，解得：，
，
故点的坐标，；
综上点的坐标为：，或，或，．