本文内容选自2020年重庆中考数学B卷倒数第2题,题目涉及两定两动的平行四边形存在性问题。虽然题目较长,但是也是常规题目。难度比往年小了许多。
【中考真题】
(2020·重庆)如图,在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于点,与轴交于,两点(点在点的左侧),且点坐标为,,直线的解析式为.
(1)求抛物线的解析式;
(2)过点作,交抛物线于点,点为直线上方抛物线上一动点,连接,,,.求四边形面积的最大值及相应点的坐标;
(3)将抛物线向左平移个单位,已知点为抛物线的对称轴上一动点,点为平移后的抛物线上一动点.在(2)中,当四边形的面积最大时,是否存在以,,,为顶点的四边形为平行四边形?若存在,直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
【分析】
题(1)分别求出点B、C的坐标,连同A的坐标代入即可。
题(2)先求出直线AD的解析式,联立二次函数的解析式,然后得到点D的坐标。虽然求四边形的面积最大值,本质上是求△BCE的面积最大值。因为△BCD的面积是确定的。求△BCD的面积可以直接把点D平移值y轴上,用底乘高的方式即可得到面积。
题(3)先确定点B和E的坐标,然后设点M和N的坐标。利用平移或者中点坐标公式即可得到等量关系求解。
【答案】解:(1)直线的解析式为,令,则,令,则,
故点、的坐标分别为,、;
则
,则设直线的表达式为:②,
联立①②并解得:,故点,,
由点、的坐标得,直线的表达式为:,
当时,,即点,,
设点,则点,
则四边形的面积
点向右平移个单位向上平移个单位得到,同样点向右平移个单位向上平移个单位得到,
即,
则或,
故点的坐标为,或,;
②当是平行四边形的对角线时,
由中点公式得:,解得:,
,
故点的坐标,;
综上点的坐标为:,或,或,.
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