中考数学压轴题分析：直角三角形的存在性问题

本文内容选自2020年广元中考数学压轴题，涉及直角三角形的存在性问题，难度不大。大家可以看看。

【中考真题】

（2020·广元）如图，直线分别与轴，轴交于，两点，点为的中点，抛物线经过，两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点是直线下方的抛物线上的一点，且的面积为，求点的坐标；
（3）点为抛物线上一点，若是以为直角边的直角三角形，求点到抛物线的对称轴的距离．

【分析】
题（1）先求出点A和B的坐标，然后代入求出抛物线的解析式。
题（2）可以先设点D的坐标，表示出面积，然后再令面积为，解方程求出坐标即可。
题（3）是两定一动型指教三角形存在性问题，由于知道了直角边AB，那么只需分别过点A、B作直线AB的垂线即可，与抛物线的交点就是所求的。
然后构造三垂直相似可以建立等量关系求出坐标。知道坐标后，即可根据横坐标与对称轴之间的关系求出点P到对称轴的距离，难度不大。
【答案】解：（1）直线中，
令，则，令，则，
，，
点是中点，
，将和代入抛物线中，，解得：，
抛物线表达式为：；
（2）联立：，
解得：或，
直线与抛物线交于点和，
点是直线下方抛物线上的一点，设，
，
过点作轴，交直线于点，
，
，
，
解得：，
点的坐标为；

（3）抛物线表达式为：，
是以为直角边的直角三角形，
设点，，，
，，，
当点为直角顶点时，
，
解得：或5（舍，

当点为直角顶点时，
，
解得：或，

而抛物线对称轴为直线，
则，，，
综上：点到抛物线对称轴的距离为：或或．