角系列模型：坐标系中的特殊角/构造相等角、半角、二倍角/最大角问题（米勒）

（一）角系列之坐标系中的特殊角问题

当我们把目光聚焦在各种各样图形的时候，却忘了还有一种基本图形：角．本系列介绍关于角的一些问题，本文则从基本的特殊角开始说起~

01

什么是特殊角？

说到特殊角我们很快就能想到比如30°、45°、60°、90°等，事实上，之所以以上角能称为特殊角，关键在于这些角的三角函数值特殊，比如同为整十，为什么我们会将60°称为特殊角，而50°便不是，原因很简单，cos60°=1/2，而我们并不知道50°的任一三角函数值．

因此角度特殊不在于这个角是多少度，而在于其三角函数值是否有特殊值，所以除了常见的30°、45°、60°，我们可以扩充一下特殊角的范围．

以及从最后一张图中可得二倍角或者半角的三角函数构造．

比如求tan15°：

tan22.5°：

一般半角三角函数值求法：

一般二倍角函数值求法：

02

坐标系中的特殊角

当我们初次接触到平面直角坐标系时，我们就认识了一、三象限角平分线及二、四象限角平分线，即直线y=x和直线y=-x，在一次函数中我们知道，若两直线平行，则k相等．

综合以上两点，可得：对于直线y=x+m或直线y=-x+m，与x轴夹角为45°．

并且我们还可通过画图与计算得知：

即“y=kx+b的k”与“直线和x轴的夹角”存在某种固定的联系．

关系就是：tanα=k的绝对值（α是直线与x轴的夹角）．

不装了，我摊牌了~

03

特殊角的处理

在坐标系中构造定角，从其三角函数值着手：

思路1：根据三角函数值构造三垂直相似（或全等）；

思路2：通过三角函数值化“角度条件”为“直线k”．

引例：坐标系中的45°角

如图，在平面直线坐标系中，直线AB解析式为y=1/2x，点M（2，1）是直线AB上一点，将直线AB绕点M顺时针旋转45°得到直线CD，求CD解析式．

【分析】

思路1：构造三垂直相似（全等）

在坐标系中存在45°角，可作垂直即可得到等腰直角三角形，构造三垂直全等确定图形．

在直线AB上取一点O，过点O作OP⊥AB交CD于P点，分别过M、P向x轴作垂线，垂足为E、F点．

易证△OEM≌△PFO，

故PF=OE=2，OF=ME=1，

故P点坐标为（-1，2），

结合P、M坐标可解直线CD解析式：y=-1/3x+5/3．

构造等腰直角的方式也不止这一种，也可过点O作CD的垂线，

但直角顶点未知的情况计算略难于直角顶点已知的情况，故虽可以做但并不推荐．

思路2：利用特殊角的三角函数值．

过M点作MN∥x轴，则tan∠OMN=tanα=1/2，tan∠CMN=1/3，

考虑到直线CD的增减性为y随着x的增大而减小，故kCD<0，

所以直线CD：y=-1/3(x-2)+1，

化简得：y=-1/3x+5/3．

引例：坐标系中的一般特殊角

如图，在平面直线坐标系中，直线AB解析式为y=1/2x，点M（2，1）是直线AB上一点，将直线AB绕点M顺时针旋转α得到直线CD，且tanα=3/2，求直线CD解析式．

【分析】

在直线AB上再选取点O构造三垂直相似，如下图所示，

易证△PFO∽△OEM，且相似比PO：OM=tan∠PMO=3/2，

即OF=3/2ME=3/2，PF=3/2OE=3，

故P点坐标为(-3/2，3)，

结合P、M点坐标可解直线CD解析式：y=-4/7x+15/7．

本题并不容易从三角函数值本身下手，原因在于角度并不属于我们所讨论的特殊角范围之内，简便的做法只存在于特殊的角中．

认识特殊角，了解特殊角，运用特殊角，就能在复杂问题中找到简便的求法．

04

且看中考题

2019盐城中考

【45°的旋转】

如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x-1的图像分别交x、y轴于点A、B，将直线AB绕点B顺时针旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是_________．

····································································

2018辽阳中考（删减）

【75°的转身】

如图，直线y=x-3与坐标轴交于A、B两点，抛物线y=1/4x²+bx+c经过点B，与直线y=x-3交于点E（8，5），且与x轴交于C，D两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线上有一点M，当∠MBE=75°时，求点M的横坐标．

····································································

2013黑龙江中考

【特殊角的半角】

如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，点C在y轴上，∠ACB=90°，OA、OB的长分别是一元二次方程x²-25x+144=0的两个根（OA<OB），点D是线段BC上的一个动点（不与点B、C重合），过点D作直线DE⊥OB，垂足为E．

（1）求点C的坐标；

（2）连接AD，当AD平分∠CAB时，求直线AD的解析式．

but，思路2不能直接用！不能直接用！

选择填空当然就可以咯~

···············································································

2019资阳中考（删减）

【不一样的45°】

如图，抛物线y=-1/2x²+bx+c过点A（3，2），且与直线y=-x+7/2交于B、C两点，点B的坐标为（4，m）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使∠AQM=45°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

（二）角系列之构造相等角

除了特殊几何图形存在性问题外，相等角存在性也是今年二次函数压轴题中常见的题型，根据题目给的不同的条件，选择恰当的方式去构造相等角，是此类问题的关键．

01

如何构造相等角？

回顾一下在几何图形中有哪些方法能得到相等角，大概如下：

（1）平行：两直线平行，同位角、内错角相等；

（2）角平分线：角平分线分的两个角相等；

（3）等腰三角形：等边对等角；

（4）全等（相似）三角形：对应角相等；

（5）三角函数：若两个角的三角函数值相等，则两角相等；

（6）圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．

也许还有，但大部分应该都在此了，同样，在抛物线背景下亦可用如下思路构造相等角．

选择较多未必是好事，挑出关键性条件确定恰当方法才是更重要的，以下给出一些中考题中的不同方法构造相等角问题．

02

三角函数值

想得到相等角，先考虑如何度量角，除了角度之外，另外的方法便是求出角的三角函数值，因此在以上6种方案当中，若无明显条件，可考虑求出角的三角函数值来构造相等角．

2017来宾中考（删减）

【根据三角函数值构造相等角】

如图，已知抛物线过点A（4，0），B（-2，0），C（0，-4）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点C和点C1关于抛物线的对称轴对称，点P在抛物线上，且∠PAB=∠CAC1，求点P的横坐标．

···········································································

2019德州中考（删减）

【根据三角函数值构造相等角】

如图，抛物线y=mx²-5/2mx-4与x轴交于A（x1,0），B（x2,0）两点，与y轴交于点C，且x2-x1=11/2．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线上一点D（1，-5），直线BD与y轴交于点E，动点M在线段BD上，当∠BDC=∠MCE时，求点M的坐标．

···········································································

2017丹东中考（删减）

【看似角平分线实则还是三角函数】

如图，在平面直角坐标系中，△ABC的一边AB在x轴上，∠ABC=90°，点C（4，8）在第一象限内，AC与y轴交于点E，抛物线y=3/4x²+bx+c经过A、B两点，与y轴交于点D（0，-6）．

（1）请直接写出抛物线的表达式；

（2）若点M是x轴上一点（不与点A重合），抛物线上是否存在点N，使∠CAN=∠MAN．若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

···········································································

03

作平行线

2018娄底中考

【作平行线构造相等角】

如图，抛物线y=ax²+bx+c与两坐标轴相交于点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．

（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；

（2）F（x，y）是抛物线上的动点：

①当x>1，y>0时，求△BDF的面积的最大值；

②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．

··········································································

2019海南中考（删减）

【平行+三角函数】

如图，已知抛物线y=ax²+bx+5经过A（-5，0），B（-4，-3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t．该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

··········································································

04

等腰&全等

2018玉林中考（删减）

【构造等腰三角形得相等角】

如图，直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=-x²+bx+c与直线y=c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P，连接PB，得△PCB≌△BOA（O为坐标原点）．若抛物线与x轴正半轴交点为点F，设M是点C，F间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m．

（1）直接写出点P的坐标和抛物线的解析式；

（2）求满足∠MPO=∠POA的点M的坐标．

···········································································

2019泰安中考（删减）

【全等或等腰得相等角】

若二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，-2），且过点C（2，-2）．

（1）求二次函数表达式；

（2）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使∠ABO=∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．

···········································································

05

辅助圆与圆周角定理

2018日照中考（删减）

【构造辅助圆得相等角】

如图，已知点A（-1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax²+bx+c上．

（1）求抛物线解析式；

（2）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC=∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．

···········································································

2019赤峰中考（删减）

【辅助圆或特殊角】

如图，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=-x²+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB=∠OCB？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

···········································································

【写在最后】

其实每一种做法都由两个相等的角的位置所决定，所以描出所要求的那两个角，看看是否存在某种联系，若真的八竿子打不着，那就用三角函数去算．毕竟，除了度数，我们只能用三角函数值来度量角，以及尽可能地掌握好特殊角的三角函数值及半角、二倍角三角函数值求法．

（三）角系列之构造二倍角、半角

既有构造相等角的，也有在这个问题上再进行加工的，比如，在坐标系中构造已知角的半角或二倍角，角可以单独出现，也可以存在于某个几何图形中，因此，构造半角、二倍角的方法也并不唯一，常用如下：

思路1：构造半角三角函数．

构造二倍角三角函数：

思路2：等腰三角形外角．

三角形外角等于和它不相邻的两个内角之和．

当然方法远不止于此，仅提供一点解题思路，接下来看一点中考题中的二倍角、半角问题．

2019咸宁中考（删减）

【转化为等角】

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-1/2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=-1/2x²+bx+c经过A、B两点且与x轴的负半轴交于点C．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD=2∠BAC时，求点D的坐标．

2018扬州中考（删减）

【简单的三角函数计算】

如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A出发，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒．

问题：当t=1时，抛物线y=x²+bx+c经过P、Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使∠MQD=1/2∠MKQ？若存在，求出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由．

2019宿迁中考（删减）

【特殊角的三角函数值】

如图，抛物线y=x²+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，-3）．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB=2∠ACO．求点P的坐标；

2019盐城中考（删减）

【半角三角函数计算】

如图所示，二次函数y=k（x-1）²+2的图像与一次函数y=kx-k+2的图像交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k<0．

（1）求A、B两点的横坐标；

（2）二次函数图像的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC=2∠BEC，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

2018本溪中考（删减）

【构造旋转得定角】

如图，抛物线y=ax²+2x+c（a<0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB=OC=3．

（1）求该抛物线的函数解析式．

（2）如图2，点E的坐标为（0，-3/2），点P是抛物线上的点，连接EB，PB，PE形成的△PBE中，是否存在点P，使∠PBE或∠PEB等于2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2018河南中考（删减）

【构造等腰三角形】

如图，抛物线y=ax²+6x+cx轴于A、B两点，交y轴于点C．直线y=x-5经过点B、C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点A的直线交直线BC于点M，连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．

（四）角系列之最大角问题（米勒问题）

问题描述

1471年，德国数学家米勒向诺德尔提出这样一个问题：

如图，点A、B直线l的同一侧，在直线l上取一点P，使得∠APB最大，求P点位置．

问题铺垫

圆外角：如图，像∠APB这样顶点在圆外，两边和圆相交的角叫圆外角．

相关结论：圆外角等于这个角所夹两条弧的度数差（大减小）的一半．

如图，∠P=∠ACB-∠PBC．

换句话说，对同一个圆而言，圆周角>圆外角．

问题解决

结论：当点P不与A、B共线时，作△PAB的外接圆，当圆与直线l相切时，∠APB最大．

证明：在直线l上任取一点M（不与点P重合），连接AM、BM，

∠AMB即为圆O的圆外角，

∴∠APB>∠AMB，∠APB最大．

∴当圆与直线l相切时，∠APB最大．

问题应用

特别地，若点A、B与P分别在一个角的两边，如下图，则有OP²=OA·OB．（切割线定理）

证明：∵∠POA=∠BOP，∠OPA=∠OBP（弦切角定理）

∴△AOP∽△POB，

∴OA/OP=OP/OB，

∴OP²=OA·OB．

即可通过OA、OB线段长确定OP长，便知P点位置．

最大角问题在中考中出现得并不多，也仅仅能称作是一个问题而已，但既然已经有考到了，我们就需要了解一下~

2019烟台中考

如图，抛物线y=ax²+bx+3与x轴交于A（-1，0）、B两点，与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x轴，垂足为点E，双曲线y=6/x（x>0）经过点D，BD．

（1）求抛物线的表达式；

（2）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，∠BPD的度数最大？（请直接写出结果）

变式练习

已知最大角求直线

如图，在平面直角坐标系中，A（1，0）、B（5，0）直线l经过点C（-1，2），点P是直线l上的动点，若∠APB的最大值为45°，求直线l的解析式．

【分析】

考虑到直线l未知但∠APB的最大值已知为45°，故构造圆．

记△ABP外接圆圆心为M点，则∠AMB=2∠APB=90°，

故可确定M点位置．

根据A（1，0）、B（5，0），不难求得M点坐标为（3，2），

连接MC、MP，考虑到圆M与直线CP相切，故MP⊥CP，△CPM是直角三角形．

∵MC=4，MP=MA=2根号2，

∴CP=2根号2，即△CPM是等腰直角三角形，

易求P点坐标为（1，4），

又C点坐标为（-1，2），

可求直线l的解析式为y=x+3．

注：特别感谢山大附中张永坤老师供题． 

【写在最后】

像这种问题变化方式其实并不多，是的所以这一篇我水了，理清楚问题的构成条件以及每个条件的应用，便能在变化中准确找到切入点，根据条件分析我能做什么不仅是一种嗅觉，更是靠基础的积累．