线性方程组解的理论和求解方法是线性代数学的核心内容
线性方程组解有3种可能:(1)仅有唯一解;(2)有无穷多解;(3)无解一般通过秩判断相容性。
矩阵A中的非零子式的最高阶数称为矩阵A的秩,记做秩(A)或r(A)
求矩阵秩的方法:只要对矩阵进行初等行变换,使其化为阶梯形矩阵,这个阶梯形矩阵的非零行的行数即为该矩阵的秩线性方程组(3.1)有解(相容)的充分必要条件是r(A)=r([A︙B])
齐次线性方程组 矩阵形式为AX=0
(1)当A为m×n矩阵时,只有唯一零解的充分必要条件为:r(A)=n;
(2)当A为m×n矩阵时,有非零解的充分必要条件为:r(A)<n;
(3)当A为m×n矩阵,r(A)=r时,有n-r个自由元。
非齐次线性方程组
矩阵形式为AX=β
(1)AX=B有解的充分必要条件为r([A︙B])=r(A)
(2)当A为m×n矩阵时,若r([A︙B])=r(A)=n,AX=B的解唯一;(3)当A为m×n矩阵时,若r([A︙B])=r(A)=r<n,AX=B有无穷多组解,也有n-r个自由元。
利用r(A),r([A︙B])与未知元个数n之间的关系,在不解线性方程组的情况下,可以判断线性方程组有解还是无解;若有解的话,是有唯一解,还是无穷多解,具体方法如下:
第1步,写出线性方程组的增广矩阵[A︙B]。
第2步,用初等行变换法,将增广矩阵[A︙B]化为阶梯形矩阵。
第3步,根据相容性定理中的r(A),r([A︙B])与n之间关系判断解的情况,
即(1)若r(A)≠r([A︙B]),则AX=B无解;
(2)若r(A)=r([A︙B])=n,则AX=B唯有一解;
(3)若r(A)=r([A︙B])=r<n,则AX=B有无穷多解。
应用举例:应用举例来自:线性代数(Steven J. Leon)
城市交叉路口如下图:
求交叉路口车辆数量:
进入的车辆数与离开数量相等,列下列方程组:
x1+450=x2+610(路口1)
x2+520=x3+480(路口2)
x3+390=x4+600(路口3)
x4+640=x1+310(路口4)
此方程增广矩阵:
1 -1 0 0 160
0 1 -1 0 -40
0 0 1 -1 210
-1 0 0 1 -330
通过初等变换化简为:
1 0 0 -1 330
0 1 0 -1 170
0 0 1 -1 210
0 0 0 0 0
矩阵与他的扩展矩阵的秩都为3,有4个向量;所以该方程有无究多解组:
x1=x4+330
x2=x4+170
x3=x4+210
假设x4=200;就能求出相应的解
以下为Matlab求解非线性齐次方程
%解非线性齐次方程 Nonlinear homogeneous equation
clear ; clc;
A=[1 1 -3 -1;3 -1 -3 4;1 5 -9 -8];
b=[1 4 0]'; %转向矩阵
B=[A b]; %扩搌矩阵
C=rref(B) %高斯肖元法化为最简行[m,n]=size(A);
RA=rank(A) %矩阵A秩
RB=rank(B) %扩展矩阵的秩
format rat %分数形式
if RA~=RB
X='无解 ' %判断无解
elseif RA==RB && RA==n %唯有一解
X=A\b
else RA==RB && RA<n %判断有任意解
X=A\b %求特解
=null(A,'r') %求AX=0的基础解系
end
输出:
B =
1 -1 0 0 160
0 1 -1 0 -40
0 0 1 -1 210
-1 0 0 1 -330
C =
1 0 0 -1 330
0 1 0 -1 170
0 0 1 -1 210
0 0 0 0 0
RA =
3
RB =
3
ans =
logical
1
Warning: Matrix is singular to working precision.
> In untitled (line 16)
X =
0/0
0/0
0/0
0/0
D =
1
1
1
1
>>
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