第七部分:三角函数的诱导公式
【题型解法】
1、诱导公式是一种特殊的两角和差公式,特殊之处在于其中一个角为
的倍数。
2、诱导公式判断的总原则:“奇变偶不变,正负看象限”。
3、诱导公式的判断步骤:
第一步:(1)、判断
倍数所在的终边;
如下表所示:
角
终边
角
终边
轴的正半轴
轴的正半轴
轴的负半轴
轴的负半轴
轴的负半轴
轴的负半轴
轴的正半轴
(2)、判断该终边划分的两个象限;
如下表所示:
终边
划分的象限
终边
划分的象限
轴的正半轴
第一象限和第四象限
轴的正半轴
第一象限和第二象限
轴的负半轴
第二象限和第三象限
轴的负半轴
第三象限和第四象限
(3)、根据另一个角的正负,确定象限;
如下表所示:
终边
划分象限
另一个角的正负
象限
轴的正半轴
第一象限和第四象限
正(逆时针旋转)
第一象限
负(顺时针旋转)
第四象限
轴的负半轴
第二象限和第三象限
正(逆时针旋转)
第三象限
负(顺时针旋转)
第二象限
轴的正半轴
第一象限和第二象限
正(逆时针旋转)
第二象限
负(顺时针旋转)
第一象限
轴的负半轴
第三象限和第四象限
正(逆时针旋转)
第四象限
负(顺时针旋转)
第三象限
第二步:判断象限判断三角函数的正负
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
正弦
正
正
负
负
余弦
正
负
负
正
正切
正
负
正
负
第三步:“奇变偶不变”
奇数倍
偶数倍
【三角函数的诱导公式的相关例题】
【例题一】:化简:
【本题解析】:第一步:
终边在
轴的负半轴;
轴负半轴划分第三象限和第四象限;
为正角,逆时针旋转为第四象限。
第二步:
在第四象限为负的;
第三步:
为
奇数倍,
。
所以:
。
【例题二】:化简:
【本题解析】:第一步:
终边在
轴的负半轴;
轴负半轴划分第二象限和第三象限;
为正角,逆时针旋转为第三象限。
第二步:
在第三象限为负的;
第三步:
为
偶数倍,
。
所以:
。
【例题三】:化简:
【本题解析】:第一步:
终边在
轴的负半轴;
轴负半轴划分第二象限和第三象限;
为负角,顺时针旋转为第二象限。
第二步:
在第二象限为负的;
第三步:
为
偶数倍,
。
所以:
。
【例题四】:化简:
【本题解析】:第一步:
终边在
轴的负半轴;
轴负半轴划分第三象限和第四象限;
为负角,顺时针旋转为第三象限。
第二步:
在第三象限为正的;
第三步:
为
奇数倍,
。
所以:
。
【例题五】:化简:
【本题解析】:第一步:根据半角公式得到:
;
第二步:根据诱导公式得到:
;
所以:
。
【例题六】:化简:
【本题解析】:第一步:根据半角公式得到:
;
第二步:根据诱导公式得到:
;
所以:
。
【例题七】:化简:
【本题解析】:第一步:根据半角公式得到:
;
第二步:根据诱导公式得到:
;
所以:
。
【跟踪训练】
【跟踪训练一】:化简:
【跟踪训练二】:化简:
【跟踪训练三】:化简:
【跟踪训练四】:化简:
【跟踪训练五】:化简:
【跟踪训练六】:化简:
【跟踪训练七】:化简:
【跟踪训练八】:化简:
【跟踪训练九】:化简:
【跟踪训练参考答案】
【跟踪训练一】:化简:
【本题解析】:
终边为:
轴的正半轴;
为第一象限角
,
。
【跟踪训练二】:化简:
【本题解析】:
终边为:
轴的负半轴;
为第二象限角
,
。
【跟踪训练三】:化简:
【本题解析】:
终边为:
轴的负半轴;
为第三象限角
,
。
【跟踪训练四】:化简:
【本题解析】:
终边为:
轴的正半轴;
为第一象限角
,
。
【跟踪训练五】:化简:
【本题解析】:
终边为:
轴的正半轴;
为第二象限角
,
。
【跟踪训练六】:化简:
【本题解析】:
终边为:
轴的负半轴;
为第三象限角
,
。
【跟踪训练七】:化简:
【本题解析】:根据三角函数的半角公式得到:
;
根据三角函数的诱导公式得到:
。
【跟踪训练八】:化简:
【本题解析】:根据三角函数的半角公式得到:
;
根据三角函数的诱导公式得到:
。
【跟踪训练九】:化简:
【本题解析】:根据三角函数的半角公式得到:
;
根据三角函数的诱导公式得到:
。
第八部分:三角函数的图像以及性质
【
的图像以及性质】
【计算特殊点坐标】
如下表所示:
(1)当“
”时:
;
(2)当“
”时:
;
(3)当“
”时:
;
;
;
(4)当“
”时:
;
(5)当“
”时:
。
【函数
的图像】
【函数
的性质】
【性质一】:最小正周期:
;
【性质二】:定义域:
;值域:
;
当
,
时:
;当
,
时:
。
【性质三】:(1)中心对称点:函数
与
轴的交点都是中心对称点,
,
。
(2)对称轴:由最大值点和最小值点向
轴引得垂线为对称轴,
,
。
(3)奇偶性:函数关于原点对称,为奇函数。
【性质四】:单调性:
当
,
时:函数
单调递增;
当
,
时:函数
单调递减。
【
的图像以及性质】
【计算特殊点坐标】
如下表所示:
(1)当“
”时:
;
(2)当“
”时:
;
(3)当“
”时:
;
;
;
(4)当“
”时:
;
(5)当“
”时:
。
【函数
的图像】
【函数
的性质】
【性质一】:最小正周期:
;
【性质二】:定义域:
;值域:
;
当
,
时:
;当
,
时:
。
【性质三】:(1)中心对称点:函数
与
轴的交点都是中心对称点,
,
。
(2)对称轴:由最大值点和最小值点向
轴引得垂线为对称轴,
,
。
(3)奇偶性:函数关于
轴对称,为偶函数。
【性质四】:单调性:
当
,
时:函数
单调递增;
当
,
时:函数
单调递减。
【
的图像以及性质】
【计算特殊点坐标】
如下表所示:
(1)当“
”时:
;
(2)当“
”时:
;
(3)当“
”时:
;
(4)当“
”时:
;
(5)当“
”时:
。
【函数
的图像】
【函数
的性质】
【性质一】:最小正周期:
;
【性质二】:定义域:
,
;值域:
;
【性质三】:(1)中心对称点:函数
与
轴的交点都是中心对称点,
,
。
(2)对称轴:无对称轴。
(3)奇偶性:函数关于原点对称,为奇函数。
【性质四】:单调性:
当
,
时:函数
单调递增。
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