第七部分：三角函数的诱导公式
【题型解法】
1、诱导公式是一种特殊的两角和差公式，特殊之处在于其中一个角为
的倍数。
2、诱导公式判断的总原则：“奇变偶不变，正负看象限”。
3、诱导公式的判断步骤：
第一步：（1）、判断
倍数所在的终边；
如下表所示：
角
终边
角
终边
轴的正半轴
轴的正半轴
轴的负半轴
轴的负半轴
轴的负半轴
轴的负半轴
轴的正半轴
（2）、判断该终边划分的两个象限；
如下表所示：
终边
划分的象限
终边
划分的象限
轴的正半轴
第一象限和第四象限
轴的正半轴
第一象限和第二象限
轴的负半轴
第二象限和第三象限
轴的负半轴
第三象限和第四象限
（3）、根据另一个角的正负，确定象限；
如下表所示：
终边
划分象限
另一个角的正负
象限
轴的正半轴
第一象限和第四象限
正（逆时针旋转）
第一象限
负（顺时针旋转）
第四象限
轴的负半轴
第二象限和第三象限
正（逆时针旋转）
第三象限
负（顺时针旋转）
第二象限
轴的正半轴
第一象限和第二象限
正（逆时针旋转）
第二象限
负（顺时针旋转）
第一象限
轴的负半轴
第三象限和第四象限
正（逆时针旋转）
第四象限
负（顺时针旋转）
第三象限
第二步：判断象限判断三角函数的正负
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
正弦
正
正
负
负
余弦
正
负
负
正
正切
正
负
正
负
第三步：“奇变偶不变”
奇数倍
偶数倍
【三角函数的诱导公式的相关例题】
【例题一】：化简：
【本题解析】：第一步：
终边在
轴的负半轴；
轴负半轴划分第三象限和第四象限；
为正角，逆时针旋转为第四象限。
第二步：
在第四象限为负的；
第三步：
为
奇数倍，
。
所以：
。
【例题二】：化简：
【本题解析】：第一步：
终边在
轴的负半轴；
轴负半轴划分第二象限和第三象限；
为正角，逆时针旋转为第三象限。
第二步：
在第三象限为负的；
第三步：
为
偶数倍，
。
所以：
。
【例题三】：化简：
【本题解析】：第一步：
终边在
轴的负半轴；
轴负半轴划分第二象限和第三象限；
为负角，顺时针旋转为第二象限。
第二步：
在第二象限为负的；
第三步：
为
偶数倍，
。
所以：
。
【例题四】：化简：
【本题解析】：第一步：
终边在
轴的负半轴；
轴负半轴划分第三象限和第四象限；
为负角，顺时针旋转为第三象限。
第二步：
在第三象限为正的；
第三步：
为
奇数倍，
。
所以：
。
【例题五】：化简：
【本题解析】：第一步：根据半角公式得到：
；
第二步：根据诱导公式得到：
；
所以：
。
【例题六】：化简：
【本题解析】：第一步：根据半角公式得到：
；
第二步：根据诱导公式得到：
；
所以：
。
【例题七】：化简：
【本题解析】：第一步：根据半角公式得到：
；
第二步：根据诱导公式得到：
；
所以：
。
【跟踪训练】
【跟踪训练一】：化简：
【跟踪训练二】：化简：
【跟踪训练三】：化简：
【跟踪训练四】：化简：
【跟踪训练五】：化简：
【跟踪训练六】：化简：
【跟踪训练七】：化简：
【跟踪训练八】：化简：
【跟踪训练九】：化简：
【跟踪训练参考答案】
【跟踪训练一】：化简：
【本题解析】：
终边为：
轴的正半轴；
为第一象限角
，
。
【跟踪训练二】：化简：
【本题解析】：
终边为：
轴的负半轴；
为第二象限角
，
。
【跟踪训练三】：化简：
【本题解析】：
终边为：
轴的负半轴；
为第三象限角
，
。
【跟踪训练四】：化简：
【本题解析】：
终边为：
轴的正半轴；
为第一象限角
，
。
【跟踪训练五】：化简：
【本题解析】：
终边为：
轴的正半轴；
为第二象限角
，
。
【跟踪训练六】：化简：
【本题解析】：
终边为：
轴的负半轴；
为第三象限角
，
。
【跟踪训练七】：化简：
【本题解析】：根据三角函数的半角公式得到：
；
根据三角函数的诱导公式得到：
。
【跟踪训练八】：化简：
【本题解析】：根据三角函数的半角公式得到：
；
根据三角函数的诱导公式得到：
。
【跟踪训练九】：化简：
【本题解析】：根据三角函数的半角公式得到：
；
根据三角函数的诱导公式得到：
。
第八部分：三角函数的图像以及性质
【
的图像以及性质】
【计算特殊点坐标】
如下表所示：
（1）当“
”时：
；
（2）当“
”时：
；
（3）当“
”时：
；
；
；
（4）当“
”时：
；
（5）当“
”时：
。
【函数
的图像】
【函数
的性质】
【性质一】：最小正周期：
；
【性质二】：定义域：
；值域：
；
当
，
时：
；当
，
时：
。
【性质三】：（1）中心对称点：函数
与
轴的交点都是中心对称点，
，
。
（2）对称轴：由最大值点和最小值点向
轴引得垂线为对称轴，
，
。
（3）奇偶性：函数关于原点对称，为奇函数。
【性质四】：单调性：
当
，
时：函数
单调递增；
当
，
时：函数
单调递减。
【
的图像以及性质】
【计算特殊点坐标】
如下表所示：
（1）当“
”时：
；
（2）当“
”时：
；
（3）当“
”时：
；
；
；
（4）当“
”时：
；
（5）当“
”时：
。
【函数
的图像】
【函数
的性质】
【性质一】：最小正周期：
；
【性质二】：定义域：
；值域：
；
当
，
时：
；当
，
时：
。
【性质三】：（1）中心对称点：函数
与
轴的交点都是中心对称点，
，
。
（2）对称轴：由最大值点和最小值点向
轴引得垂线为对称轴，
，
。
（3）奇偶性：函数关于
轴对称，为偶函数。
【性质四】：单调性：
当
，
时：函数
单调递增；
当
，
时：函数
单调递减。
【
的图像以及性质】
【计算特殊点坐标】
如下表所示：
（1）当“
”时：
；
（2）当“
”时：
；
（3）当“
”时：
；
（4）当“
”时：
；
（5）当“
”时：
。
【函数
的图像】
【函数
的性质】
【性质一】：最小正周期：
；
【性质二】：定义域：
，
；值域：
；
【性质三】：（1）中心对称点：函数
与
轴的交点都是中心对称点，
，
。
（2）对称轴：无对称轴。
（3）奇偶性：函数关于原点对称，为奇函数。
【性质四】：单调性：
当
，
时：函数
单调递增。
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