第十六部分：三角函数的单调性计算
【题型模型】
【模型一】：求函数
的单调性。
【解法设计】：（1）当
且
时：单调性不变
当
时：
单调递增；
‚当
时：
单调递减。
（2）当
且
时：单调性改变
当
时：
单调递减；
‚当
时：
单调递增。
（3）当
且
时：单调性改变
当
时：
单调递减；
‚当
时：
单调递增。
（4）当
且
时：单调性不变
当
时：
单调递增；
‚当
时：
单调递减。
【模型二】：求函数
的单调性。
【解法设计】：（1）当
且
时：单调性不变
当
时：
单调递增；
‚当
时：
单调递减。
（2）当
且
时：单调性改变
当
时：
单调递减；
‚当
时：
单调递增。
（3）当
且
时：单调性改变
当
时：
单调递减；
‚当
时：
单调递增。
（4）当
且
时：单调性不变
当
时：
单调递增；
‚当
时：
单调递减。
【模型二】：求函数
的单调性。
【解法设计】：（1）当
且
时：单调性不变
当
时：
函数
单调递增。
（2）当
且
时：单调性改变
当
时：
函数
单调递减。
（3）当
且
时：单调性改变
当
时：
函数
单调递减。
（4）当
且
时：单调性不变
当
时：
函数
单调递增。
【三角函数的单调性的相关例题】
【例题一】：【2017年高考数学浙江卷】已知函数
。
（Ⅱ）求
的最小正周期及单调递增区间。
【本题解析】：根据三角函数的半角公式得到：
，
，
。
。
根据三角函数的辅助角公式得到：
。
；
当
时：函数
单调递增。
所以：当
时：函数
单调递增。
【本题答案】：
，当
时：函数
单调递增。
【第例题二】：【2016年高考理科数学天津卷第15题】已知函数
。
（Ⅰ）求
的定义域与最小正周期；
（Ⅱ）讨论
在区间
上的单调性。
【本题解析】：根据三角函数的诱导公式得到：
；
根据三角函数的同角之间的基本关系得到：
；
根据三角函数的两角差公式得到：
；
。
根据三角函数的半角公式得到：
，
；
。
①当
时：
函数
单调递增；
②当
时：
函数
单调递减；
所以：当
时：
，函数
单调递增；
，函数
单调递减。
当
时：
，函数
单调递增；
，函数
单调递减。
所以：
，函数
单调递减；
，函数
单调递增。
【本题答案】：
，函数
单调递减；
，函数
单调递增。
【例题三】：【2016年高考文科数学山东卷第17题】设
。
（Ⅰ）求
单调递增区间；
【本题解析】：（Ⅰ）根据诱导公式得到：
；
。
当：
时：函数
单调递增；
所以：当
时：函数
单调递增。
【本题答案】：（Ⅰ）当
时：函数
单调递增。
【例题四】：【2016年高考文科数学北京卷第16题】已知函数
的最小正周期为
。
（Ⅱ）求
的单调递增区间。
【本题解析】：根据三角函数的半角公式得到：
；
根据三角函数的辅助角公式得到：
。
；
当
时：
的单调递增。
所以：当
时：函数
单调递增。
【本题答案】：当
时：函数
单调递增
【三角函数单调性的跟踪训练】
【跟踪训练一】：【2014年高考文科数学四川卷】已知函数
。
（Ⅰ）求
的单调递增区间；
【本题解析】：
【跟踪训练二】：【2014年理科理科数学福建卷】已知函数
。
（Ⅰ）若
，且
，求
的值；
（Ⅱ）求函数
的最小正周期以及单调递增区间。
【本题解析】：
【跟踪训练三】：【2014年高考文科数学福建卷】已知函数
。
（Ⅱ）求函数
的最小正周期以及单调递增区间。
【本题解析】：
【跟踪训练四】：【2014年高考理科数学辽宁卷】将函数
的图像向右平移
个单位长度，所得图像对应的函数（ ）
A、在区间
上单调递减 B、在区间
上单调递增
C、在区间
上单调递减 D、在区间
上单调递增
【本题解析】：
【跟踪训练五】：【2013年高考数学上海卷】即是偶函数又在区间
上单调递减的函数是（ ）
A、
B、
C、
D、
【本题解析】：
【跟踪训练七】：【2013年高考理科数学安徽卷】已知函数
（
）的最小正周期为
。
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）讨论
在区间
上的单调性。
【本题解析】：
【跟踪训练八】：【2013年高考理科数学上海卷】已知函数
，其中常数
。
（Ⅰ）若
在
上单调递增,求
的取值范围；
【本题解析】：
【跟踪训练参考答案】
【跟踪训练一】：【2014年高考文科数学四川卷】已知函数
。
（Ⅰ）求
的单调递增区间；
【本题解析】：（Ⅰ）
当
时：
函数
单调递增。
【本题答案】：（Ⅰ）
，函数
单调递增；
【跟踪训练二】：【2014年理科理科数学福建卷】已知函数
。
（Ⅰ）若
，且
，求
的值；
（Ⅱ）求函数
的最小正周期以及单调递增区间。
【本题解析】：
。
函数
的最小正周期：
。
当
时：
函数
单调递增。
【本题答案】：（Ⅱ）
；
，函数
单调递增；
【跟踪训练三】：【2014年高考文科数学福建卷】已知函数
。
（Ⅱ）求函数
的最小正周期以及单调递增区间。
【本题解析】：
当
时：
函数
单调递增。
函数
的最小正周期：
。
【本题答案】：
；当
时：函数
单调递增。
【跟踪训练四】：【2014年高考理科数学辽宁卷】将函数
的图像向右平移
个单位长度，所得图像对应的函数（ ）
B、在区间
上单调递减 B、在区间
上单调递增
C、在区间
上单调递减 D、在区间
上单调递增
【本题解析】：函数
的图像向右平移
个单位长度得到：
；
（1）、当
时：
函数
单调递增；
（2）、当
时：
函数
单调递减。
【本题答案】：
【跟踪训练五】：【2013年高考数学上海卷】即是偶函数又在区间
上单调递减的函数是（ ）
A、
B、
C、
D、
【本题解析】：根据
和
为奇函数，
为偶函数得到：
是奇函数；
为偶函数；
为奇函数；
为偶函数。
：
单调递增；
单调递减；
：
单调递增；
单调递减；
：
单调递增；
单调递减；
：
单调递增；
单调递减。
【本题答案】：
【跟踪训练七】：【2013年高考理科数学安徽卷】已知函数
（
）的最小正周期为
。
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）讨论
在区间
上的单调性。
【本题解析】：（Ⅰ）
。
；
（Ⅱ）
；
（1）、当
时：函数
单调递增；
（2）、当
时：函数
单调递减；
（3）、当
时：函数
单调递增。
【本题答案】：（Ⅰ）
；
（Ⅱ）当
时：函数
单调递增；
当
时：函数
单调递减；
当
时：函数
单调递增。
【跟踪训练八】：【2013年高考理科数学上海卷】已知函数
，其中常数
。
（Ⅰ）若
在
上单调递增,求
的取值范围；
【本题解析】：
；
当
时：函数
单调递增；
且
且
，
。
【本题答案】：
；
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