第十六部分:三角函数的单调性计算
【题型模型】
【模型一】:求函数
的单调性。
【解法设计】:(1)当
且
时:单调性不变
当
时:
单调递增;
‚当
时:
单调递减。
(2)当
且
时:单调性改变
当
时:
单调递减;
‚当
时:
单调递增。
(3)当
且
时:单调性改变
当
时:
单调递减;
‚当
时:
单调递增。
(4)当
且
时:单调性不变
当
时:
单调递增;
‚当
时:
单调递减。
【模型二】:求函数
的单调性。
【解法设计】:(1)当
且
时:单调性不变
当
时:
单调递增;
‚当
时:
单调递减。
(2)当
且
时:单调性改变
当
时:
单调递减;
‚当
时:
单调递增。
(3)当
且
时:单调性改变
当
时:
单调递减;
‚当
时:
单调递增。
(4)当
且
时:单调性不变
当
时:
单调递增;
‚当
时:
单调递减。
【模型二】:求函数
的单调性。
【解法设计】:(1)当
且
时:单调性不变
当
时:
函数
单调递增。
(2)当
且
时:单调性改变
当
时:
函数
单调递减。
(3)当
且
时:单调性改变
当
时:
函数
单调递减。
(4)当
且
时:单调性不变
当
时:
函数
单调递增。
【三角函数的单调性的相关例题】
【例题一】:【2017年高考数学浙江卷】已知函数
。
(Ⅱ)求
的最小正周期及单调递增区间。
【本题解析】:根据三角函数的半角公式得到:
,
,
。
。
根据三角函数的辅助角公式得到:
。
;
当
时:函数
单调递增。
所以:当
时:函数
单调递增。
【本题答案】:
,当
时:函数
单调递增。
【第例题二】:【2016年高考理科数学天津卷第15题】已知函数
。
(Ⅰ)求
的定义域与最小正周期;
(Ⅱ)讨论
在区间
上的单调性。
【本题解析】:根据三角函数的诱导公式得到:
;
根据三角函数的同角之间的基本关系得到:
;
根据三角函数的两角差公式得到:
;
。
根据三角函数的半角公式得到:
,
;
。
①当
时:
函数
单调递增;
②当
时:
函数
单调递减;
所以:当
时:
,函数
单调递增;
,函数
单调递减。
当
时:
,函数
单调递增;
,函数
单调递减。
所以:
,函数
单调递减;
,函数
单调递增。
【本题答案】:
,函数
单调递减;
,函数
单调递增。
【例题三】:【2016年高考文科数学山东卷第17题】设
。
(Ⅰ)求
单调递增区间;
【本题解析】:(Ⅰ)根据诱导公式得到:
;
。
当:
时:函数
单调递增;
所以:当
时:函数
单调递增。
【本题答案】:(Ⅰ)当
时:函数
单调递增。
【例题四】:【2016年高考文科数学北京卷第16题】已知函数
的最小正周期为
。
(Ⅱ)求
的单调递增区间。
【本题解析】:根据三角函数的半角公式得到:
;
根据三角函数的辅助角公式得到:
。
;
当
时:
的单调递增。
所以:当
时:函数
单调递增。
【本题答案】:当
时:函数
单调递增
【三角函数单调性的跟踪训练】
【跟踪训练一】:【2014年高考文科数学四川卷】已知函数
。
(Ⅰ)求
的单调递增区间;
【本题解析】:
【跟踪训练二】:【2014年理科理科数学福建卷】已知函数
。
(Ⅰ)若
,且
,求
的值;
(Ⅱ)求函数
的最小正周期以及单调递增区间。
【本题解析】:
【跟踪训练三】:【2014年高考文科数学福建卷】已知函数
。
(Ⅱ)求函数
的最小正周期以及单调递增区间。
【本题解析】:
【跟踪训练四】:【2014年高考理科数学辽宁卷】将函数
的图像向右平移
个单位长度,所得图像对应的函数( )
A、在区间
上单调递减 B、在区间
上单调递增
C、在区间
上单调递减 D、在区间
上单调递增
【本题解析】:
【跟踪训练五】:【2013年高考数学上海卷】即是偶函数又在区间
上单调递减的函数是( )
A、
B、
C、
D、
【本题解析】:
【跟踪训练七】:【2013年高考理科数学安徽卷】已知函数
(
)的最小正周期为
。
(Ⅰ)求
的值;
(Ⅱ)讨论
在区间
上的单调性。
【本题解析】:
【跟踪训练八】:【2013年高考理科数学上海卷】已知函数
,其中常数
。
(Ⅰ)若
在
上单调递增,求
的取值范围;
【本题解析】:
【跟踪训练参考答案】
【跟踪训练一】:【2014年高考文科数学四川卷】已知函数
。
(Ⅰ)求
的单调递增区间;
【本题解析】:(Ⅰ)
当
时:
函数
单调递增。
【本题答案】:(Ⅰ)
,函数
单调递增;
【跟踪训练二】:【2014年理科理科数学福建卷】已知函数
。
(Ⅰ)若
,且
,求
的值;
(Ⅱ)求函数
的最小正周期以及单调递增区间。
【本题解析】:
。
函数
的最小正周期:
。
当
时:
函数
单调递增。
【本题答案】:(Ⅱ)
;
,函数
单调递增;
【跟踪训练三】:【2014年高考文科数学福建卷】已知函数
。
(Ⅱ)求函数
的最小正周期以及单调递增区间。
【本题解析】:
当
时:
函数
单调递增。
函数
的最小正周期:
。
【本题答案】:
;当
时:函数
单调递增。
【跟踪训练四】:【2014年高考理科数学辽宁卷】将函数
的图像向右平移
个单位长度,所得图像对应的函数( )
B、在区间
上单调递减 B、在区间
上单调递增
C、在区间
上单调递减 D、在区间
上单调递增
【本题解析】:函数
的图像向右平移
个单位长度得到:
;
(1)、当
时:
函数
单调递增;
(2)、当
时:
函数
单调递减。
【本题答案】:
【跟踪训练五】:【2013年高考数学上海卷】即是偶函数又在区间
上单调递减的函数是( )
A、
B、
C、
D、
【本题解析】:根据
和
为奇函数,
为偶函数得到:
是奇函数;
为偶函数;
为奇函数;
为偶函数。
:
单调递增;
单调递减;
:
单调递增;
单调递减;
:
单调递增;
单调递减;
:
单调递增;
单调递减。
【本题答案】:
【跟踪训练七】:【2013年高考理科数学安徽卷】已知函数
(
)的最小正周期为
。
(Ⅰ)求
的值;
(Ⅱ)讨论
在区间
上的单调性。
【本题解析】:(Ⅰ)
。
;
(Ⅱ)
;
(1)、当
时:函数
单调递增;
(2)、当
时:函数
单调递减;
(3)、当
时:函数
单调递增。
【本题答案】:(Ⅰ)
;
(Ⅱ)当
时:函数
单调递增;
当
时:函数
单调递减;
当
时:函数
单调递增。
【跟踪训练八】:【2013年高考理科数学上海卷】已知函数
,其中常数
。
(Ⅰ)若
在
上单调递增,求
的取值范围;
【本题解析】:
;
当
时:函数
单调递增;
且
且
,
。
【本题答案】:
;
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