什么是稳态图？

参数估计过程是模态参数（极点和留数）提取过程中非常重要的一步。这个过程通常分为两步：第一步提取极点，然后第二步是估计留数。稳态图是一种从测量数据中提取极点的有效工具。本文主要介绍以下内容：

1.    什么是稳态图；

2.    稳态图的计算过程；

3.    残余项对稳态图的影响。

1.什么是稳态图

在确定系统极点时，有多种指示工具（如函数SUM、MIF、CMIF和稳态图等）可帮助分析人员指明系统极点的位置，但是在这些所有的工具当中，稳态图是最常用的工具。稳态图的基本原理是，如果极点是系统的全局特征，那么随着参与拟合的阶数的增加，由阶数逐渐增加的数学模型提取到的系统极点将重复出现。随着模型阶数的增加，其他的指示工具不具备这种连续指示的特点。当极点达到稳定后，用图形表征这些特性将对系统极点提供一些额外的洞察。

图1所示的为一个典型的稳态图，随着参与拟合的模态阶数的增加，在稳态图中会持续给出指示系统极点的特性，即稳定的S列，这些稳定的S列指明了极点的位置，根据这些S列的位置，从而帮助模态分析人员确定系统极点。因此，稳态图是一种表明系统极点的工具。

图1 典型的稳态图

2. 稳态图的计算过程

系统的频响函数表示如下

由于模态分析只能分析一定带宽内的模态，所以，在这个方程中，中间是分析带宽内的模态，也就是我们感兴趣的频带，但是在分析带宽之外还存在所谓的上下残余项，这些残余项用于补偿分析带宽之外的影响。

在数学的曲线拟合中，如果要对一组数据估计它的某个参数，如斜率，可以使用一阶方程（线性方程y=kx b），但也可以使用二阶方程（二次项），三阶方程和四阶方程或者更高阶方程等。随着估计的方程的阶次的提高，估计出来的斜率趋于稳定，误差控制在一定的范围之内（如1%），高阶方程基本上是起微调作用。当估计出来的斜率误差在误差容限之内变化时，我们可以认为不管拟合的阶次多高，本质上都得到相同的斜率。

在稳态图的计算过程中也存在相同的道理，只不过拟合得到的参数是系统极点，使用的方程是上面方程中的多项式。每阶模态对应一个多项式，随着参与拟合的多项式的增加，拟合得到的每阶模态的极点越来越趋于稳定，因而用S表示稳定的极点，当S持续出现在某一个位置时，则表明该位置为某阶模态的极点。由于模态参数有三个：频率、阻尼和振型，因此，只有拟合出来的这三个参数同时位于误差容限之内时才用字母S表示，除此之外，还用其他字母表示不同的参数的稳定情况，具体见表1。

表1 稳态图中各个字母所表示的含义

字母	描述
o	极点不稳定
f	频率稳定
d	频率和阻尼同时稳定
v	振型向量稳定
s	频率、阻尼和振型向量同时稳定

参与拟合的多项式的多少由参数Modal Size决定。当进行稳态图计算时，需要确定这个参数，其实就是确定使用上面方程中多少个多项式参与拟合。每增加一阶多项式参与拟合，软件会自动计算一个结果，这个结果包含频率、阻尼和振型三个参数，如果这三个参数与上一次拟合得到的结果相比较，结果都在误差容限之内，则用S表示。如果出现别的情况，则按表1所示的情况给出相应的字母表示其稳定情况。通常，这三个参数的误差容限设定如图2所示。

图2 稳态图计算中的误差容限设置

因此，稳定图的计算过程是，首先使用某个数字的多项式进行拟合，如图3是从6开始计算的，此时会得到一个结果，但通常参与拟合的多项式越少，极点稳定的可能性非常小，只有参与拟合的多项式达到一定数量之后，极点才开始趋于稳定。从最初的参与拟合的多项式算起，在原来的基础上每增加一阶多项式，会将这次的计算结果与上一次的计算结果进行对比，如果这两次计算得到的三个参数的误差都在设置的容限以内，则用S表示。如果是其他情况，则用表1中其他字母表示。每增加一个多项式，会进行一次比较，同时给出相应的字母表示稳定情况，参与拟合的多项式个数直至Modal Size为止。

如果将图2中的三个误差容限都修改得更大，那么，将使得更容易出现S列；如果改小，则表征稳定的S出现会更困难。因此，一般情况下，不建议修改这个设置，使用软件默认设置即可。如果任一改大或改小，反而不利于获得精确的结果。

另外，还有一点需要注意，在计算的最初阶段，稳态图并没有出现明显的S列，这是因为参与拟合的多项式太少。如果在分析的带宽内N阶模态，那么参与拟合的模态阶数应大于N，系统极点才开始出现稳定，随着参与拟合的阶数的增加，极点会越来越稳定。如图3所示，当参与拟合的阶数少于16时，各个极点都不稳定，从16阶开始才慢慢得到稳定的S列，而在这个带宽内有13阶模态。

图3 稳态图

以上使我们深刻地明白了软件是怎样计算稳态图的。随着模型阶数的增加，将会对极点进行不同的估计。从一阶到下一阶，如果极点估计的变化很微小，那么软件将提供一个字母标记帮助指示极点是否已达到稳定值，而这些稳定值位于设定的误差容限之内。这些稳定的指示可叠加在SUM函数、MMIF函数或CMIF函数之上。随着模型阶数的增加，稳态图帮助确定哪些极点是“一致的”或者稳定的。

3. 残余项对稳态图的影响

模态分析时，我们仅对感兴趣的带宽内进行模态分析，但是在感兴趣的带宽之外还受其他多项式的影响，带宽外的多项式称作残余项，感兴趣的带宽之下受下残余项影响，感兴趣的带宽之上受上残余项的影响，这些残余项用于补偿带宽之外的影响，如图4所示，阴影区域用残余项进行补偿。

图4 感兴趣的分析带宽

模态软件都考虑在多项式中使用残余项以考虑带宽之外的影响。这对于获得准确的模态参数来说，是非常有用的。不管何种方法，用户能指定残余项以改进数据拟合结果。在这我们主要考虑残余项对稳定图和综合出来的FRF的影响。

考虑图4所示的带宽，在这个带宽内有5阶模态，因此分别考虑用10阶、20阶、30阶和40阶残余项来补偿带外的影响。因而，这四种情况下的Modal Size还需要加上5，分别为15，25，35和45。这四种情况下的稳态图如图5所示。

（a）10阶残余项 

（b）20阶残余项 

（c）30阶残余项

（d）40阶残余项

图5 残余项对稳态图的影响

从图5可以看出，随着参与拟合的残余项的增加，在这5阶模态位置处S列越来越明显，但与此同时，在非物理极点位置处也开始持续出现明显的S列，特别是在图5（d）中，数学极点位置的S列尤为明显，也就是说，参与拟合的残余项越多，在非物理极点位置处也趋于稳定了。因此，指定过多的残余项不是提取准确的模态参数的优先方法。

现在考虑这四种情况下，综合出来的FRF与实测FRF之间的相关性，得到的结果如图6所示，二者的相关性与误差结果如表2所示。从图表中可以明显看出，使用过多的残余项对结果并无明显改善。

（a）10阶残余项 

（b）20阶残余项 

（c）30阶残余项

（d）40阶残余项

图6残余项对综合FRF的影响

表2 四种情况下的结果对比

残余项	相关性	误差
10	99.11%	0.89%
20	99.26%	0.74%
30	99.26%	0.74%
40	99.25%	0.75%

从以上分析可以看出，增加过多的残余项并没有改善参数估计，实际上还可能起到了干扰分析的作用，因为在非物理极点位置处也出现了明显的S列。模态参数估计使用过多的残余项仅仅是设法补偿频响函数中的噪声或者不完整性（带外的影响）。使用过多的残余项不认为是合理提取模态参数的有效方法。大多数商业模态软件中指定残余项数的默认设置对于大多数曲线拟合的情况是合理的。

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