费马大定理

在争论创新能力不足、创新意识不够的时候，往往我们忽视了更为重要的现实问题，那就是我们的学术积累和能力训练是否达到了突破现有人类认知边界的程度。网友曰，大多数人的勤奋程度其实远不到需要拼天赋的地步；那么，我作为一名科院博士生，或许应自问，是否自己学术能力的积累程度还远不到支持自己做出原创性工作的程度呢。上周末，花了一个通宵读完了西蒙·辛格的《费马大定理》这本书，感触颇深。

西蒙是剑桥粒子物理学博士，作为BBC纪录片导演，参与制作和导演了纪录片《地平线：费马大定理》，可以算的上是对费马大定理的证明过程了解颇深的人之一。且西蒙本人有很好的学术背景，对于研究内容有足够的理解能力，所以这本书写的既有学术深度又不乏可读性。他以生动的笔法大略勾勒了自古希腊时期至今与罗马大定理相关的数学研究进展和奇闻轶事，最后以一个科学的态度评述了最后的英雄。

说到费马大定理，要回溯到中国商代、古巴比伦汉莫拉比时代或者古希腊毕达哥拉斯时代，因为费马大定理是由勾股定理或者说是毕达哥拉斯定理引起的。任何一个有中学文化水平的人都能够理解，在一个直角三角形中，直角边长a和b，斜边长c，则有a2+b2=c2这样的关系存在，这在公元前18-16世纪中国商代、古巴比伦和以及更早的古埃及的文明中都已经得到了认识和应用，之所以在学术语言系统里通常称其为毕达哥拉斯定理，是因为毕达哥拉斯被认为是第一个用数学的严密逻辑性证明了这一定理的人。到了三千年之后的文艺复兴时期，法国“业余数学家之王”皮耶·德·费马在研究毕达哥拉斯定理是否有无数的三元组（a、b、c）整数解满足等式时，提出了一个命题，如果这里的二次方改成三次方或者更高的幂次，则没有整数解，用数学语言表示的话就是：an+bn=cn，当n>2时，不存在这样一组非零整数解（a、b、c）。这就是费马大定理。

费马有一个贱贱的毛病，他经常不屑于清楚地记录自己的证明，在自己的这个命题的研究笔记上他清楚的写到“我有一个对这个命题的十分美妙的证明，这里空白太小，写不下”，这就是让人恼火的费马。这个问题1670年被出版，为世界所知，为世界所惑。

形式上的极简和数学的严密逻辑性原则成就了费马大定理这一数学史上最引人注目的命题。后人在别的地方找到了费马记录的当n=4的情况下费马大定理的证明，后来欧拉给出了n=3情况下的证明，相继的更多n值下费马大定理成立的证明被发现。但是即是再多的n值被证明，也无法证明费马大定理本身，因为这是一个关于无限的问题，即使用上了现代最强大的计算机也没有办法解决无限的问题。

三百多年来，无数天才数学家研究过这一问题，包括欧拉、高斯、拉梅、柯西、拉格朗日、勒让德、希尔伯特等等神级人物也相继折戟，无计可施。虽然未能解决，但数学知识和技术在积累和发展。虚数i作为-1的平方根被提出，逐步构建了模空间的数学系统，实则实现了四维空间的转换，现在我们知道低维空间是更高维空间的特殊形式，高维空间能够解析低维空间认知的更多细节；椭圆方程作为空间与代数连接的解析形式也得到了充分发展。

二战之后，日本学术界基本凋零殆尽，在这样的情况下数学家却可以只凭一纸一笔和一个超强大脑来进行研究，而相比之下，其他学科则没有这个条件了。1954年东京大学年轻科学家志村五郎与长他一岁的同事谷山丰相识，两个人天才般的工作发现了模空间解序列和椭圆方程解序列之间可能存在着一一对应关系。这便是著名的谷山-志村猜想。这对于数学界意义非凡，因为数学一个个领域仿佛是一个个孤岛，互不通联，如果能够证明模空间与椭圆方程之间存在着一一对应关系，便能够大大扩展人类的认知空间，就像椭圆方程沟通了代数关系和几何关系从而大大提高了人类认识和理解空间规律的能力。从此又有了一大批数学家开始研究谷山-志村猜想的证明。故事到了1984年，数学家们来到德国举行讨论会，一个叫弗赖的数学家给出了人们新的希望，他使用反证法，首先假设费马大定理不成立，即存在一个整数解，那么通过变换，可以将上文讲过的费马方程变换成椭圆方程的形式；那么如果谷山-志村猜想是对的，即椭圆方程都能够被模形式化，并且这个转换后的椭圆方程能被证明不能模形式化，就可以证明这个椭圆方程不存在，从而证明费马方程不能有解。接下来的18个月里，无数的数学家投入到证明这个椭圆方程不能被模形式化的过程中，到了1986年夏天，加州伯克利的肯·里贝特给出了这一证明。

那么，就只剩下一个问题，便是谷山-志村猜想的证明了，如果这一猜想能被证明，那么就能够自动证明费马大定理。

主角出场了，普林斯顿大学数学系安德鲁·怀尔斯教授似乎从小就有一个证明费马大定理的梦想，或许这是每个数学家年轻时的梦想，只不过怀尔斯做到了，宣传需要特意放大了。当谷山-志村猜想的证明和费马大定理的证明等同连接起来的时候，怀尔斯意识到自己不能够放过这个机会。

数学研究是特殊的，数学家之间往往不能进行交流，世界上一个领域能交流的人寥寥，而与专业人员交流又面临着泄漏新思路的危险，很可能你给别人来了一个一语点醒梦中人，所以数学家是孤独的。他决定开始进行秘密研究。除了必要的授课外，怀尔斯把大部分时间留在家里进行研究，他本身是研究椭圆方程的，这一领域他已烂熟，他又花了几年的时间学习了模空间、数论、群论等领域所有的研究成果和方法，在掌握了这些工具之后，他开始研究谷山-志村猜想的证明。

如果用中国人的话来讲，这叫闭关，就像张三丰锤炼太极拳，而怀尔斯的闭关长达七年之久。1993年，他完成了证明，1995年完成了证明缺陷的弥补。费马大定理被证明了，在费马贱贱的写下那句恼人的话三百多年之后。

这是一部英雄史诗，是人类智慧挑战和突破极限的艰辛历程，同时也是一个科学家进行原创性研究的启示录。

扎实的学术基础是创新的前提，有了多年的学术修为，才有可能问道最艰深的难题，就像只有有了扎实的武功修为，才有可能到华山一较高下。七年里，怀尔斯为费马大定理的证明突破了多项领域的创新，其中每一项都是数学界的重要发展，而他最终的证明是这一项项的专门研究的自然延伸。即使费马大定理的证明失败了，就像无数前辈那样，他的工作依然是辉煌的。熟知三百年来折戟于此的无数先贤，怀尔斯依然把自己的学术生涯赌在这里，勇也！斯为英雄，然也！