(文/方弦)
要理解群论,首先要理解群是什么。
群,就是对称性。一切有对称的地方,都有群的存在。
拾起一枝梅花,你会惊异于它的美,而这种美有一部分来自梅花的对称。首先,它是左右对称的,在镜中的倒影跟原来差不多。其次,如果你将它旋转72度,这朵五瓣的梅花看起来跟旋转之前并无二致。只要旋转的角度是72的整数倍,梅花的形象就基本保持不变,我们也说它有五重旋转对称性。
现在,我们来看看这些让梅花保持大体不变的操作。这些操作之间可以互相组合,比如可以先镜像再旋转144度,得到的操作还是会让梅花保持不变。什么也不做自然也算一种操作。每个操作都有一个“逆操作”,可以“撤销”之前的操作。比如说旋转72度的逆操作就是旋转288度,加起来一共360度,相当于没有旋转。最后,如果连续进行三个操作,分成两组的话,无论是先一后二还是先二后一,得到的结果还是一样的。
这些好像都没有什么神奇之处,但换用数学语言的话,这就是群的定义:操作的组合,就是群的运算;什么都不做,就是群的单位元;某个操作的“逆操作”,就是群中元素对应的逆元;三个操作的组合,对应的是群运算的结合论。
所以说,群就是对称性。一切有对称性的地方,都隐藏着一个群。梅花的美,背后隐藏的就是所谓的5阶二面体群。关于群的更多信息,可以参见我在科学松鼠会上发表的文章《有限单群:一段百年征程》。
世间处处是对称性,有的像梅花那样一目了然,有些则更为隐晦。比如,这个世界的物理规则,关于时间平移对称,也就是说,今天做的实验跟明天做的会得到相同的结果;它还关于空间平移对称,也就是说,在这里做的实验和在那里做的也会得到相同的结果。还有,我们的地球绕着太阳公转,于是星空每天都会转动,而每隔一年,当地球回到同一个位置,星空也回到了相同的位置。晶体中原子的规则排布带来的对称性就更不用说了。
这还只是自然世界中的对称性,如果在数学和计算机的世界中,对称性就更多了。加法运算构成一个群,因为加上一个数,相当于将数轴整体移动一段距离,但数轴毕竟是一根直线,移动前后并没有改变,所以加法可以看成对数轴对称性的操作。模N的加法也是如此,只不过这次要将从0到N-1的数排成一个圈,而加法这次就变成了展示这个圈的旋转对称性的操作。
而群论,就是研究所有这些对称性的学科。只要有对称性,就可以通过群论进行分析。
也许你会觉得,对称性美则美矣,实际上又有什么用呢?
这个问题很难回答,因为现代数学、物理和计算机的方方面面早已被群论所渗透。作为一种思考方式,很难举出具体应用的例子。这里姑且举一个(细节请参看我在科学松鼠会上发表的文章《从玩具陀螺到终极理论》)。
前面说了,这个世界的物理规则关于时间和空间平移对称。在20世纪,数学家埃米·诺特证明了,物理规则的每一个对称性都对应一个守恒量。时间平移对称,对应的是一般定义的能量;空间平移对称,对应的是一般定义的动量。也就是说,能量和动量之所以守恒,都是因为这个世界的物理规则满足相应的对称性,也就是作用于某个群之下。这种观点,即使在现代物理同样成立:所谓规范场论,就是在所谓“规范群”的基础上,用统一的方式表达所有物理规律的一种尝试。
群,就是规律的一种体现。
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