（文/方弦）
要理解群论，首先要理解群是什么。
群，就是对称性。一切有对称的地方，都有群的存在。
拾起一枝梅花，你会惊异于它的美，而这种美有一部分来自梅花的对称。首先，它是左右对称的，在镜中的倒影跟原来差不多。其次，如果你将它旋转72度，这朵五瓣的梅花看起来跟旋转之前并无二致。只要旋转的角度是72的整数倍，梅花的形象就基本保持不变，我们也说它有五重旋转对称性。
现在，我们来看看这些让梅花保持大体不变的操作。这些操作之间可以互相组合，比如可以先镜像再旋转144度，得到的操作还是会让梅花保持不变。什么也不做自然也算一种操作。每个操作都有一个“逆操作”，可以“撤销”之前的操作。比如说旋转72度的逆操作就是旋转288度，加起来一共360度，相当于没有旋转。最后，如果连续进行三个操作，分成两组的话，无论是先一后二还是先二后一，得到的结果还是一样的。
这些好像都没有什么神奇之处，但换用数学语言的话，这就是群的定义：操作的组合，就是群的运算；什么都不做，就是群的单位元；某个操作的“逆操作”，就是群中元素对应的逆元；三个操作的组合，对应的是群运算的结合论。
所以说，群就是对称性。一切有对称性的地方，都隐藏着一个群。梅花的美，背后隐藏的就是所谓的5阶二面体群。关于群的更多信息，可以参见我在科学松鼠会上发表的文章《有限单群：一段百年征程》。
世间处处是对称性，有的像梅花那样一目了然，有些则更为隐晦。比如，这个世界的物理规则，关于时间平移对称，也就是说，今天做的实验跟明天做的会得到相同的结果；它还关于空间平移对称，也就是说，在这里做的实验和在那里做的也会得到相同的结果。还有，我们的地球绕着太阳公转，于是星空每天都会转动，而每隔一年，当地球回到同一个位置，星空也回到了相同的位置。晶体中原子的规则排布带来的对称性就更不用说了。
这还只是自然世界中的对称性，如果在数学和计算机的世界中，对称性就更多了。加法运算构成一个群，因为加上一个数，相当于将数轴整体移动一段距离，但数轴毕竟是一根直线，移动前后并没有改变，所以加法可以看成对数轴对称性的操作。模N的加法也是如此，只不过这次要将从0到N-1的数排成一个圈，而加法这次就变成了展示这个圈的旋转对称性的操作。
而群论，就是研究所有这些对称性的学科。只要有对称性，就可以通过群论进行分析。
也许你会觉得，对称性美则美矣，实际上又有什么用呢？
这个问题很难回答，因为现代数学、物理和计算机的方方面面早已被群论所渗透。作为一种思考方式，很难举出具体应用的例子。这里姑且举一个（细节请参看我在科学松鼠会上发表的文章《从玩具陀螺到终极理论》）。
前面说了，这个世界的物理规则关于时间和空间平移对称。在20世纪，数学家埃米·诺特证明了，物理规则的每一个对称性都对应一个守恒量。时间平移对称，对应的是一般定义的能量；空间平移对称，对应的是一般定义的动量。也就是说，能量和动量之所以守恒，都是因为这个世界的物理规则满足相应的对称性，也就是作用于某个群之下。这种观点，即使在现代物理同样成立：所谓规范场论，就是在所谓“规范群”的基础上，用统一的方式表达所有物理规律的一种尝试。
群，就是规律的一种体现。
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