解读课本中的数学思想
四川 侯国兴
《数学课程标准》在课程目标中明确指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必须的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”.由此可知，《数学课程标准》已把基本的数学思想方法作为学生必须掌握的基础知识来要求.数学思想方法是数学的灵魂，数学思想指导着数学问题的解决，并具体地体现在解决问题的不同方法中，掌握一定的数学思想和方法远比掌握一般的数学知识有用的多.通过七年级下册数学的学习，同学们应进一步理解和感受以下几种数学思想方法：
一、方程思想
所谓方程思想就是从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把已知量与未知量
之间的数量关系转化为方程（组）模型，从而使问题得到解决的思维方法.方程知识是初中数学的核心内容，理解方程思想并应用于解题当中十分重要.课本中第6章、第7章列一次方程（组）解应用题就是方程思想的具体应用.
例1.一个多边形的外角和是内角和的，求这个多边形的边数.
分析:根据“边形的内角和等于”与“多边形的外角和等于”和已知条件，列方程可求解.
解答:设多边形的边数为，则根据题意得方程：
解得
所以，这个多边形的边数为9
评注：对方程思想的考查主要有两个方面：一是列方程（组）解应用题；二是列方程（组）解决代数问题或几何问题.
二、数形结合思想
数学是研究数量关系和空间形式的一门科学，每个几何图形中都要蕴藏着一定的数量关系，而数量关系常常又可以通过图形的直观性作出形象的描述.数形结合思想即是把代数、几何知识相互转化、相互利用的一种解题思想. 在一元一次不等式（组）中，用数轴表示不等式的解集就是数形结合的具体体现.
例2.求不等式组的自然数解.
分析:欲求不等式组的自然数解,一般思路是先求出不等式组的解集,再在数轴上表示出其解集,从而进一步求出问题的答案.
解答:解不等式得
解不等式得
所以,原不等式组的解集是,其解集在数轴上表示如图1所示
图1
所以,其自然数解为0、1、2.
评注：自然数也就是非负整数，在这里易漏掉0.
三、分类讨论思想
分类讨论思想就是要针对数学对象的共性与差异性，将其区分为不同种类，从而克服思维的片面性，有效地考查学生思维的全面性与严谨性.要做到成功分类，需注意两点：一是要有分类意识，善于从问题的情境中抓住分类对象；二是找出科学合理的分类标准，满足不重不漏的原则.
例3.等腰三角形的周长为16，其中一条边的长是6，求另两条边的长.
分析:由于已知的“一条边的长是6”，未告之是腰长,还是底边长,所以应分类讨论求解.
解答：(1)当周长为16，腰长为6时,该等腰三角形的另两边：一条边为腰，长为6，另一条边为底边，长为16-6-6=4，即另两边分别为6和4；
(2)当周长为16，底边长为6时,该等腰三角形的另两边都是腰，其长为（16-6）÷2=5，即另两边长为5、5.
评注：求解有关等腰三角形的边、角问题时，在题中未附图形且未指名已知的边、角是该等腰三角形的底或腰（底角或顶角）的情况下，均需用分类讨论思想求解.
四、转化思想
转化是解数学问题的一种重要的思维方法.转化思想是分析问题和解决问题的一个重要的基本思想，就解题的本质而言，解题就意味着转化，即是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把“复杂”转化为“简单”，把“陌生”转化为“熟悉”，把“抽象”转化为“具体”，把“一般”转化为“特殊”，把“高次”转化为“低次”，把一个综合问题转化为几个基本问题，把顺向思维转化为逆向思维等等.
例4.在一个多边形中，它的内角最多可以有几个是锐角？
分析：由于任意一个多边形的内角与其相邻的外角的和等于，所以若内角为锐角，则其外角为钝角，将该问题转化为求多边形的外角中最多有几个钝角就十分简捷。
解答：因为 多边形的外角和为
所以 多边形的外角中最多有3个钝角，
所以 多边形的内角中最多有3个锐角。
评注：此题充分体现了结论与结论之间的相互转化.
五、整体思想
研究某些数学问题时，往往不是以问题的某个组成部分为着眼点，而是有意识放大考查问题的视角，将要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构或作整体处理后，达到顺利而又简捷地解决问题的目的，这就是整体思想.
例5.已知某个三角形的周长为18㎝，其中两条边的长度和等于第三条边长度的2倍，而它们的差等于第三条边长度的，求这个三角形的三边长.
分析：三角形有三条边，题目中有三个条件，此题需设三角形的三边为未知数，列方程
组解答.
解答：设三角形的三边长分别为、、，（）则依题意得：
将（2）整体代入（1），得，解得
再将代入（2）、（3）得：
解这个方程组得
因此，所求三角形的三边长为7、5、6.
评注：所列方程组为三元一次方程组，在求解这个方程组时，将（2）整体代入（1），
立即可求出C的大小，使得求解、就变得十分简单.这种整体代入、整体加减的整体数学思想在整式、方程（组）、不等式（组）和有关几何图形的计算中经常用到。
六、对称思想
数学家赫尔曼外尔曾经说过：对称是一种思想，通过它，人们毕生追求并创造次序、
美丽和完善……”.利用对称思想，同学们可较简单地进行图案设计并能解决一些有关对称的数学问题。
例6.用四块如图2所示的瓷砖拼成一个正方形，形成轴对称的图案，和你的同伴比一比，看谁的拼法多.
分析：抓住轴对称图形的定义即沿着某条直线对折，两旁的部分能够完全重合进行图案设计.此题的答案不唯一.
解答：如图3所示.
图2 图3
评注：（1）在图3中，黑、白颜色可互换；（2）生活中存在着大量的对称现象，大到宇宙空间的星体，小到微观世界的原子，精致的艺术珍宝，尖端科学中的基因工程，都可以找到图形对称的素材.
热身练习
1、(2007年吉林省) ．某商店在一次促销活动中规定：消费者消费满200元或超过200元就可享受打折优惠．一名同学为班级买奖品，准备买6本影集和若干支钢笔．已知影集每本15元，钢笔每支8元，问他至少买多少支钢笔才能打折？
2、(2006吉林省)如图4.在的方格内，填写了一些代数式和数.
（1）在图4（1）中各行、各列和对角线上三个数之和都相等，请你求出的值；
（1） 图4 （2）
（2）把满足图4（1）的其他6个数填入图4（2）中的方格内.
3、（2007年成都市）解不等式组并写出该不等式组的整数解
4、（2007年杭州市）．一个等腰三角形的一个外角等于，则这个三角形的三个角应该为
5、（2007年重庆市）已知一个等腰三角形两内角的度数之比为，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）
A． B． C．或 D．
6、（2006年天津市）如图5，P、Q是的边BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，则的大小等于________.
图5
7、（2007年山西省）如图6，直线是一条河，两地相距8千米，两地到的距离分别为2千米，5千米，欲在上的某点处修建一个水泵站，向两地供水．现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）
8、（2007年山西省）若则
9、（2007年青海省）已知二元一次方程组则的值是（ ）
A．1 B．0 C． D．
10、（2007年资阳市）如图7，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于( )
A. 90° B. 135°
C. 270° D. 315°
11、（2007年乐山市）认真观察图8的4个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：
（1）请写出这四个图案都具有的两个共同特征．
特征1：_________________________________________________；
特征2：_________________________________________________．
（2）请在图9中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征
热身练习答案：
1、设每千克西红柿元，每千克茄子元．根据题意，得解得 答：每千克西红柿元，每千克茄子元.
2、（1）由已知条件得 解得，（2）略 ）
3、 原不等式组的整数解是．
4、、、或、、.（提示：分的角是底角的外角与顶角的外角两种情形考虑）
5、 C.（提示：分顶角与底角的度数比为与分底角与顶角的度数比为两种情形解答）
6、；
7、B. （提示：此题为一基本作图题，解决这类问题的方法是将直线同侧的某点通过轴对称变换转化到的另一侧，根据“两点之间，线段最短”予以解决.在这里即是作点P关于直线的对称点，连结交直线于点M，则在点M处修建水泵站可使铺设的管道最短.）
8、5；（提示：将两方程整体相加得，所以）
9、-1；（提示：将方程组中下面的一个方程减去上面的一个方程立即得）
10、 C （提示：因为，所以，又由“四边形的内角和等于”知：，所以=.这里我们没有分别求出、各等于多少度，而是视∠1+∠2为一个整体，通过四边形的内角和等于及已知条件整体求出其结果.）
11、（1）特征1：都是轴对称图形；特征2：这些图形的面积都等于4个单位面积；等；
（2）满足条件的图形有很多，如下图所示：
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