引子
前些日子受湘南学院的邀请，去郴州一个县上课。当地的老师点题要上植树问题。上课的时候，我给那一帮五年级的孩子出了一个题。
一根12米长的绳子，每2米分1段，一共可以分成多少段？
有不少孩子回答说有七段。这些人还能用段数、棵数等等术语来侃侃而谈，说出一番理由。说着说着，其他同学都认为他们说得似乎很有道理。
我跟那些孩子说，我总觉得这个问题不是那么难，用不着棵数啊，段数啊这样的术语来解释，让我们直面问题——12米长的绳子，每2米分1段……看着孩子们迷茫的样子，我只好在黑板上画出一条十二米长的绳子，然后每两米一段的分，让学生数出来确实是六段。
那些认为是7段的孩子，看起来似乎还有一点点委屈。我知道他们是学过植树问题的，公式记得很清楚！于是，我请学过植树问题的孩子把学到的与植问题有关的所有东西都忘记，我们重新开始。
如何认识植树问题
多年以前，笔者在一个植树问题的教学实录评析中谈到过个问题：
植树问题教学的价值取向
教任何一个内容，我们的价值取向都很重要。所谓价值取向，简单的说，就是老师看重什么，欣赏什么，不看重什么，反对什么。某种意义上说，价值取向决定你教什么的问题。数学广角（包括植树问题）的教学，价值取得尤其重要。以下是人民教育出版社王永春先生的观点：
王先生的观点，大体上是说数学广角的教学没有承担基础知识学习与基本技能训练的任务。
按照认知心理学的观点，知识分为陈述性知识与程序性知识，前者回答“是什么”的问题，大体与传统意义上的“知识”意义相同，后者回答“怎么办”的问题。这种回答“怎么办”的问题的程序性知识，又被分成自动化基本技能与策略性知识。我们所说的基本技能大体上就是这里的自动化基本技能，这是可以通过练习达到“熟能生巧”的，比如运算，作图等，大体都是。以植树问题为例，说数学广角的教学没有承载双基目标的任务，大体上是说，教植树问题，我们的目标并不直接指向“植树问题是什么”，“植树问题怎么解决”，而是要以植树问题为材料，帮助学生获得解决问题的基本经验，感悟重要的数学思想方法。换个角度说，教植树问题成功与否，主要不是看学生学完植树问题这一节课之后，解决相同的问题速度有多快，准确率有多高，而是想看，这节课的学习对学生分析他所遇到新问题有没有帮助。
三种价值取向
探究发现
通常的方式是引导学生探究各种情况下棵数与段数的关系，探究的方式通过是列表、观察、归纳。以这个为价值取向，就是希望今天的学习，有利于学生形成一种态度，就是：我不是只能解决见过、学过的问题，碰到新问题可以想办法研究；同时有利于学生掌握一些基本的研究问题的办法。（注：这里说有利于形成，有利于掌握，而不说形成和掌握，是想说明态度的形成，方法的掌握，不是一节课可以达到目的的，而是要通过一节一节的课添砖加瓦）。
实现这种价值取向的教学，通常先把具体的植树问题概括的表达出来：在一段确定长度的路上植树，每相邻两棵树之间的距离是确定的，要求一共需要多少棵树苗。在此基础上把研究任务确定下来：研究任务就是寻求路的总长、相邻两棵树之间的距离以及树的棵数这三者之间的关系。解决问题的办法是从简单的情况（从最简单的情况）开始探究。从研究问题的策略上来说，我们要研究三个量之间的关系，可以选择先固定其中的某一个量，看看另外两个量之间有什么变化关系。比如我们固定相邻两棵树之间的间距不变，选择不同的路的长度来研究，看一看其中有什么规律。这些都是解决问题的一般策略，我们需要通过一节一节的课，让学生慢慢熟悉这些一般策略。
这种价值取向下的教学，通常会出一个问题，那就是教师心存成见，总想着一开始就让学生研究棵数与段数（间隔数）的关系。
应该认识到，我们研究的对象中本来没有所谓间隔数或段数的，所谓间隔数或段数，或者是研究过程中产生的一个概念，或者更准确的说，是为了表达研究结果而产生的一个概念。我们的研究表格最初应该没有间隔数一列，规律的表达，最初也不应该有间隔数这一概念，而应该代之以路长÷间距，即棵数=路长÷间距+1，当我们想解释这个公式时，就有了段数或间隔数的概念。应该特别说明的是，这里的所谓公式，只是一个副产品，发现了，论证了，明确了，就可以扔掉了。
直觉确认
在一条长100米的路上，植树相邻，两棵树之间的间距是5米，一共需要多少棵树苗呢？凭直觉，我们可能会列出一个算式，100÷5=20。我们需要有一种习惯，或者一种素养：要重视直觉，但是不能轻信直觉。我们要主动问自己，这个算式对不对呢？于是我们想检验一下这个东西到底对还是不对。检验的方法是什么呢？就是首先把我们凭直觉写出的这个算式概括出来：路的长度除以相邻两棵树之间的间距。接下来我们就用比较简单的数据来检验它。
具体的教学实施可能是这样的，首先呈现具体问题，不同的学生可能列出不同的算式，不同的算式对应着不同的方法我们来检验这样的方法。以上面的题为例，有可能得到三个不同的算式：
100÷5=20
100÷5+1=21
100÷5-1=19
每个算式都对应着一种结法，如下图所示：
为了检验这些方法的正确性，我们构造一下简单的问题：
在一条长10米的路上，植树相邻，两棵树之间的间距是5米，一共需要多少棵树苗呢？
如果方法一正确，这个问题的解应该是10÷5=2
如果方法二正确，这个问题的解应该是10÷5+1=3
如果方法三正确，这个问题的解应该是10÷5-1=1
通过画图，发现确实是3棵，于是认为方法一和方法三均不确定，再集中分析和解释一下方法二，看看这种方法是不是普遍成立的，研究一下为什么是这样。
概括模型
这里的模型是指间隔排列。简单的说，两个物体间隔排列，如果开头和结尾是同一个物体，则这个物体比另一物体多一个。若开头和结尾是两个不同的物体，则两个物体一样多。
以下排列中，Ａ与Ｂ一样多：
ＡＢＡＢ……ＡＢＡＢ
以下排列中，Ａ比Ｂ多一个：
ＡＢＡＢ……ＡＢＡ
这个思路可以将所谓两端都栽，一段栽一端不栽，两端都不栽统一起来。
如下图，两端都栽，棵与段间隔排列，棵开头，棵结尾，棵多一。
只一段栽，棵与段间隔排列，棵开头，段结尾（或段开头，棵结尾），一样多。
两端都不栽，棵与段间隔排列，段开头，段结尾，段多一。
这种模型应用比较广，比如锯木头：
木头与“锯”间隔排列，两端都是木头，木头就多一个。
比如楼梯：
楼层与台阶间隔排列，两端都是楼层，楼层多一个。
一点补充
我始终认为，把植树问题分成两端都植，一端植一端不植，两端都不植，是没有道理的。比如在1000米的路上植树，就意味着从第一棵树到最后一棵树之间的距离是1000米。不然，问题就不明确。为了说明这个观点，我举一例:在50米的路上植树，每隔10米栽一棵，两端都不栽，一共栽多少棵？按我们的成见，答案是4，但请您看下图，有哪一种方式不符合题目中明确的条件呢？
我们认为只要第四种正确，其实是我们的成见，我们的成见认为：两端都不栽，第一棵树离起点的距离应该和间距一样。但这并不是题目明确了的条件。去除这些成见，上图各种情况都是符合题目要求的。此时，我们可以（而且应该）这样看：第一种情况就是在10米长的路上植树，而第二、三、四种情况分别是在20米，30米和40米的路上植树。
在一条1000米的路上植树，每隔20米植棵，但起点和终点处都是电线杆，不必植树了。要多少棵树呢？这得明确一个问题，第一棵树离电线杆多少米？最后一棵树呢？如果得到确认都是10米，那我就考虑这是在980米的路上植树的问题，而不会考虑这是在1000米的路上植树的问题的新类型。如果得到确认是两端都留20米，那我就考虑这是在960米的路上植树的问题，同样不会考虑这是在1000米的路上植树的问题的新类型。
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