大约30年前，一群物理学家发现了数学中的一些最重要的数字出现在了似乎不属于它们的地方。终于，一个新的证明解释了它们为和会出现在那里。
这篇尚未发表的论文是由镜像对称领域里的四位顶尖的数学家完成的。它解释了为何这些自18世纪中叶以来就备受数学家关注的数字——ζ值(zeta value)——与当代数学最活跃的领域之一的数字之谜有所联系。
剑桥大学的研究员 Nick Sheridan 是这项研究的作者之一，他说：“我们的研究为这些奇怪数字的起源提供了一些几何解释。”
ζ值是通过取无穷和所得到的数字。例如，2的ζ，ζ(2)=1 + 1/2² + 1/3² + 1/4² + ...；而3的ζ，ζ(3) = 1 + 1/2³ + 1/3³ + 1/4³ + ...。 ζ值在数学的许多领域之中均有出现，其中最著名的是涉及到素数分布的黎曼假设。
正如在《两个几何世界》一文中所解释的那样，镜像对称这一领域的发现纯属偶然。在1990年代初，物理学家试图弄清一些与弦理论有关的细节。他们想要将物理世界解释为穿过额外六个空间维度的微小、振动的弦的产物。于是他们着手试图理解这六个维度的几何。第一个选项来自代数几何中的数学领域；第二个来自辛几何中的数学领域。在训练有素的数学家眼中，这简直就是两个完全不同的领域。
然而，物理学家却注意到它们之间有着一些奇怪的相似之处。特别是，当他们在一个空间上进行计算时，所生成的数字与他们在另一空间上执行的完全不同类型计算时所生成的数字相匹配。加州大学伯克利分校的数学家 Denis Auroux 说： “原则上，这两个看起来毫无关联的东西却有着神奇的等价性。”
○ 关于镜像对称的更多讨论可进一步阅读：《两个几何世界》。| 图片来源：Mike Zeng/Quanta Magazine
于是数学家和物理学家开始挖掘这种镜像关系。很快，他们就在辛几何和复几何空间的基础上建立了越来越多抽象的数学实体。你可以将这些更为抽象的数学实体想象成一个能从它的建筑风格反映其建筑基础的建筑物。
在镜像对称的设置中，之前在建筑物上坐标值为整数的点，成为了现在坐标值为不同ζ值的倍数的点。这一过程有效地旋转了空间。Sheridan 说：“空间被旋转了，而且被旋转的量或许与一些ζ值有关。”
几乎从开始对镜像对称进行研究，数学家就注意到了ζ值的存在。南加州大学的数学家Sheel Ganatra说：“这个算法很有吸引力，并且已在很多例子中进行了探索，但它缺少的是一个概念性的解释。我们一直试图获得更多的概念性解释。“ Ganatra与Sheridan、哥伦比亚大学的Mohammed Abouzaid、以及京都大学的Hiroshi Iritani共同撰写了这一论文。这项新的研究解释了为什么会有ζ值。
这个解释与镜像对称两侧的内在几何特征有关。SYZ猜想是镜像对称中的一个基本问题，它描述的是将一个镜像空间分解成小块，通过变换这些小块，再用它们构建第二个镜像空间应该是可能的。就好像你有一个用乐高搭建了一个大物体，把它拆解成碎片后，再用这些碎片构建成一个新的物体。
当你将第一个空间分解成类似乐高的小块时，大部分小块都是一样的，但也会有一些特殊的小块——仿佛藏匿于一大片红蓝乐高之中的黄色和绿色小块。
在新的论文中，数学家证明了每种特殊的小块都与ζ值有关。比如绿色的乐高块与2的ζ有关，因此如果在拆开第一个镜像空间时得到五个绿色小块的话，那么在重建后的镜像空间上的结构将使其坐标偏移5倍的ζ(2)的值。
在这篇新的论文中，四位数学家使用的是一种来自被称为热带几何学领域的技术。通过这些技术，他们证明了这些“特殊部分”解释了为何镜子两侧的数字正好相差若干个ζ值。 迄今为止，他们的证明适用于多个镜像对称的情况。作者们仍在等待，他们想要够在发表这一证明之前证明更多的例子。
这一成果也是镜像对称的整体趋势的象征。 这是一个刚刚开始崭露头角的领域，它正迅速朝着理解迈进。这不是简单地编录神秘现象——这些数字是匹配的！数学家已经开始能真正解释镜像现象为何会出现了。
撰文：Kevin Hartnett
翻译：佐佑
原文链接：https://www.quantamagazine.org/authors/kevin-hartnett/
联系客服
