编者按：本文用于实战讨论，并非是学术定论，仅作参考。本文内容为原创，文中部分表情图片类为引用，敬请见谅。
树欲静而风不止！这不，“疫”战还没有全胜，迷妹小芳只想为国做贡献。
奈何客户三番五次的“想念”，折腾到恐慌。故事是这样的：终端客户对改进后的材料有疑问。要求证明，在规定条件下（成型尺寸大于6.5mm）改进前后材料成型尺寸的可靠寿命是否能满足要求。经过几番折腾，事情终于接近真相：
某材料成型尺寸（目标类型：望大）事关安全，客户要求在不同的成型尺寸下累积失效概率均小于3.4ppm。而不幸的是，终端客户又发现可疑产品（一年前有发生过同样问题），要求分析改进前后材料在最大成型尺寸（6.5mm）下的可靠寿命差异和是否满足要求来确定责任方。
更不幸的是终端客户有要求，中间客户想甩手，责任如此重大，这……。
用尽口舌，迷妹小芳终于在客户处拿到了改进前后材料的测试数据。女性有优势，客户帅哥还亲自视频直播测试方法（如下图所示）：将取样的材料直接送入测试仪器模具，机器自动夹紧和成型，测试完成后自动记录材料失效时的成型深度。测试原理为：将一个端部为球形的冲头对着一个被夹紧的试样进行冲压形成一个凹痕，直到被测样件出现裂纹（即失效），依据冲头位置测量的凹痕深度即为试验结果。
迷妹小芳做了初步的分析，但始终不解： 2T和过程能力分析结果都发现改进后材料优于改进前材料。迷妹小芳越来越迷茫了，度娘都烦了也没有找到改进前后材料可靠寿命如何分析？如何比较是否有改进？恐慌！恐慌！要失眠了！
其实，这是一个典型的可靠性统计问题。根据客户描述，可以整理得出客户的分析需求是：
改进前后材料在规定的成型尺寸（6.5mm）处可累积失效概率是多少？
改进前后材料在累积失效率为3.4ppm时，成型尺寸是多少？
改进前后材料的成型尺寸是否有差异？
改进后的产品是否满足累积失效率3.4ppm的允许深度要至少达到6.5mm以上？
根据GJB451A-2005《可靠性维修性保障性术语》中的定义：
可靠性（reliability）是指产品在规定的条件下在规定的时间内，完成规定功能的能力。
可靠性怎么来衡量呢？
可靠度！
可靠度是可靠性的概率度量，是在规定时间（设计寿命）内，规定条件下（温度、负载、电压等），产品正常运转或服务正常的概率。可靠度可以用来衡量系统在规定寿命完成规定功能的能力。
可靠度函数与累积失效分布函数之和恒定为1。可靠寿命则是给定的可靠度所对应的寿命单位数。
好像有点晕，理论分析的事就交给软件，学会解读软件输出罢了！那么在这个案例中，我们应该怎么分析呢？
首先，识别数据的类型。通常可靠性数据会出现以下类型数据。
此次所得到数据是我们常见的精确数据。
第一步：对数据进行描述性统计：
改进前后数据量分别为：148和26，（客户反馈信息是每批次测试一个数据）。进行分布的拟合优度检验，发现改进后数据正态拟合优度检验P为0.0398。
接下来，我们需要做的是参数分布分析。
第二步，对改进前数据进行寿命分布分析
从上述事件图可以看出，所有数据为精确数据，未出现删失。目前暂无该材料可靠性规范和历史数据库，无行业模型供参考，故对数据进行所有非负分布拟合，系统默认选择正态。但从概率图中发现，分布左侧有2点超出拟合置信区间。
进行离群值分析，未发现离群值。通过向客户调查，客户未发现测试过程异常。在使用模型进行外推时需留意风险。
根据客户要求，对改进前材料做6.5mm处的可靠度刻画。通过刻画器，我们可以得到如下信息：
6.5mm处累积失效概率点估计为0.818，材料在累积失效率为3.4ppm时的成型尺寸点估计为5.74mm，危险率点估计为10.39。
第三步，对改进后数据进行寿命分布分析：
从上述事件图可以看出，所有数据为精确数据，未出现删失。进行所有非负分布拟合，系统默认选择对数正态。但从模型的评价指标AICc、-2*对数似然和BIC可以得出，正态分布与对数正态分布相差甚微，为方便下一步对比，人为指定为正态。
根据客户要求，对改进后材料做6.5mm处的可靠度刻画，我们可以得到如下信息：
6.5mm处材料的累积失效概率点估计为6.91*e-11，材料在累积失效率为3.4ppm时的成型尺寸点估计为6.68mm，危险率点估计为4.68*e-9。
第四步，寿命分布分析小结：
6.5mm处改进前后材料可靠度分析小结
结论：改进后的产品是否满足累积失效率3.4ppm的允许深度要至少达到6.5mm以上? 满足，实际6.69mm。
迷妹松了口气，确实是改进后的材料更好。但问题又来了，到底好多少？难道直接相加减？
第五步：改进前后成型尺寸分布参数对比
改进前后成型尺寸分布位置和尺度参数P均小于0.05，从位置参数的Bonferroni置信限得出，改进后成型尺寸大于改进前，为（0.699 0.798）。
第六步：总结
改进前后材料在规定的成型尺寸（6.5mm）处可累积失效概率是多少？改进前0.81，改进后6.91*e-11。
改进前后材料在累积失效率为3.4ppm时，成型尺寸是多少？改进前：5.75mm，改进后：6.69mm。
改进前后材料的成型尺寸是否有差异？有差异，差异值为改后提高0.75mm。
改进后的产品是否满足累积失效率3.4ppm的允许深度要至少达到6.5mm以上? 满足，实际6.69mm。
到此，分析就告一段落了，迷妹小芳长舒一口气，又回到了逛街时的状态！
与客户、终端客户三方视频会议后，客户对分析的表示满意，对产品可靠性表示放心，当场免除一难。但清醒的迷妹已经发现了，当累积失效率为3.4ppm时，寿命的置信区间为（6.56 6.81），是不是离客户要求的6.5mm太接近了点？如何改？
分布确定后，置信区间受样本量和标准差的影响较大。通常，第一步就想增加样本量。事实是不是这样？如果增大样本量能解决，那我们就暂且维持现状，虽然这不是好的做法！
为方便软件进行仿真，人为增加2个常量因子作为刻画因子，用蒙特卡罗（Monte Carlo）进行5000次模拟，设定规格为min6.5，运行结果如下图所示。再次进行参数分布分析时显示，当累积失效率为3.4ppm时，寿命的置信区间为（6.66 6.68）。经过内部技术专家确认改进难度大及用原始数据进行制程能力分析，各项指标均在2.0以上，作为懒人的我，就不想再动了！当然我也没忘记再次提醒迷妹，下次开会的时候提醒提醒客户保持警惕，如果客户有更高要求时，必须使用我们性能更优的材料。
特别提示:
1、 在可靠性领域，通常有现成的分布模型供使用，轻易使用一组数据来进行分布拟合并使用该模型存在风险。
2、 统计模型过度依赖现有数据，模型拟合以数学性质作为判定的依据，而模型与实际存在误差，使用模型进行外推时存在风险。
作者简介：
张望梅 六西格玛黑带大师
精益六西格玛实战者，数据分析爱好者。18年制造业从业经历，对制造业质量管理各模块有基本了解，了解简单统计工具在制造业中的应用。
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