统计学之时间序列

1.1 时间序列的概念和种类

1.1.1 时间序列的概念和构成

1. 同一现象在不同时间上的相继观察值排列而成的数列

2. 形式上由现象所属的时间和现象在不同时间上的观察值两部分组成

3. 排列的时间可以是年份、季度、月份或其他任何时间形式

1.1.2 时间序列的种类

1.平稳序列(stationary series)

(1) 基本上不存在趋势的序列，各观察值基本上在某个固定的水平上波动

(2) 或虽有波动，但并不存在某种规律，而其波动可以看成是随机的

2.非平稳序列 (non-stationary series)

(1) 有趋势的序列

(2) 线性的，非线性的

(3) 有趋势和季节性的序列

(4) 有趋势、季节性和周期性的复合型序列

1.1.3 时间序列的成分

1.趋势(trend)

(1) 持续向上或持续下降的状态或规律；

(2) 既可以是线性趋势，也可以是非线性趋势

2.季节性(seasonality)

(1) 也称季节变动(Seasonal fluctuation)

(2) 时间序列在一年内重复出现的周期性波动

3.周期性(cyclity)

(1) 也称循环波动(Cyclical fluctuation)

(2) 围绕长期趋势的一种波浪形或振荡式变动

4.随机性(random)

(1) 也称不规则波动(Irregular variations)

(2) 除去趋势、周期性和季节性之后的偶然性波动

1.1.3.1 含有不同成分的时间序列

1.1.3.2 一张图总结时间序列的成分

1.2 时间序列的描述性分析

1.2.1 图形描述

1.2.2 水平指标分析

1.2.2.1 发展水平和平均发展水平

1. 发展水平：指时间序列中每一项指标数值

2. 平均发展水平：又叫时序平均数，是把时间数列中各期指标数值加以平均而求得的平均数。

3. 一般平均数与序时平均数

(1) 共同点：具有抽象性和代表性

(2) 不同点：

a) 计算的依据不同：前者是根据变量数列计算的，后者则是根据时间数列计算的。

b) 说明的内容不同：前者表明总体内部各单位的一般水平，后者则表明整个总体在不同时期内的一般水平。

1.2.2.2 序时平均数的计算方法

1. 计算绝对数时间数列的序时平均数

(1) 由时期数列计算，采用简单算术平均法

式中，

代表平均发展水平，

代表各期发展水平，n代表时期项数

例，我国“01-05”期间的每年GDP

年份

2001

2002

2003

2004

2005

GDP（亿元）

109655

120333

135823

159878

183868

(2) 由时点数列计算

a) 由连续时点数列计算

间隔相等时，采用简单算术平均法

例：已知某企业一个月内每天的工人数，如果计算该月每天平均工人数，则将每天工人数相加之和除以该月的日历天数即可

b) 由间断时点数列计算

间隔不相等时，采用加权算术平均法

例：

间隔相等时，采用首末折半法

间隔不相等时，采用加权序时平均法

2. 计算相对数或静态平均数时间数列的序时平均数

基本公式：若时间数列

则

(1) b均为时期数列时

例

(2) a，b均为时点数列时

(3) a为时期数列，b为时点数列时

1.2.3 速度指标分析

1.2.3.1 发展速度和增长速度

发展速度：指报告期水平与基期水平的比值，说明现象的发展程度和方向。

增长速度：指增长量与基期水平的比值，说明报告期水平较基期水平增长的程度。

1.2.3.2 平均发展速度和平均增长速度

平均发展速度：各环比发展速度的平均数，说明现象每期变动的平均程度。

平均增长速度：说明现象逐期增长的平均程度。

1.2.3.3 平均发展速度的计算

几何平均法（水平法）

方程法（累计法）

1.2.3.4 增长率分析中应注意的问题

1.当时间序列中的观察值出现0或负数时，不宜计算增长率

2.例如：假定某企业连续五年的利润额分别为5，2，0，-3，2万元，对这一序列计算增长率，要么不符合数学公理，要么无法解释其实际意义。在这种情况下，适宜直接用绝对数进行分析

3.在有些情况下，不能单纯就增长率论增长率，要注意增长率与绝对水平的结合分析

1.2.3.5 增长率分析中应注意的问题-增长1%绝对值

1.增长率每增长一个百分点而增加的绝对量

2.用于弥补增长率分析中的局限性

3.计算公式为

甲企业增长1%绝对值=500/100=5万元 乙企业增长1%绝对值=60/100=0.6万元

1.3 时间序列预测的程序

1.3.1 确定时间序列的成分

【例】一种股票连续16周的收盘价如下表所示。试确定其趋势及其类型

【例】下面是一家啤酒生产企业2000～2005年各季度的啤酒销售量数据。试根据这6年的数据绘制年度折叠时间序列图，并判断啤酒销售量是否存在季节性

1.3.2 选择预测方法

1.3.3 评估预测方法

计算误差

1. 平均误差ME

2. 平均绝对误差MAD

3. 均方误差MSE

4. 平均百分比误差MPE

5. 平均绝对百分比误差MAPE

1.4 时间序列预测的方法

1.4.1 平稳时间序列预测方法

1.4.1.1 简单平均法

1. 根据过去已有的t期观察值来预测下一期的数值

2. 设时间序列已有的其观察值为

，则第t+1期预测值

为

3. 有了第t+1的实际值，便可计算出预测误差为

4. 第t+2期的预测值为

简单平均法的特点

1.适合对较为平稳的时间序列进行预测

2.预测结果不准

(1) 将远期的数值和近期的数值看作对未来同等重要

(2) 从预测角度看，近期的数值要比远期的数值对未来有更大的作用

(3) 当时间序列有趋势或有季节变动时，该方法的预测不够准确

1.4.1.2 移动平均法

1.对简单平均法的一种改进方法

2.通过对时间序列逐期递移求得一系列平均数作为预测值(也可作为趋势值)

3.有简单移动平均法和加权移动平均法两种

1.4.1.3 简单移动平均法-步骤

1. 将最近k期数据平均作为下一期的预测值

2. 设移动间隔为k，则t期的移动平均值为

3. t+1期的简单移动平均预测值为

4. 预测误差用均方误差（MSE）来衡量

简单移动平均法的-特点

1.将每个观察值都给予相同的权数

2.只使用最近期的数据，在每次计算移动平均值时，移动的间隔都为k

3.主要适合对较为平稳的序列进行预测

4.对于同一个时间序列，采用不同的移动步长预测的准确性是不同的

选择移动步长时，可通过试验的办法，选择一个使均方误差达到最小的移动步长

简单移动平均法-例题分析

1.4.1.4 指数平滑法

1.是加权平均的一种特殊形式

2.对过去的观察值加权平均进行预测的一种方法

3.观察值时间越远，其权数也跟着呈现指数的下降，因而称为指数平滑

4.有一次指数平滑、二次指数平滑、三次指数平滑等

5.一次指数平滑法也可用于对时间序列进行修匀，以消除随机波动，找出序列的变化趋势

一次指数平滑

1． 只有一个平滑系数

2． 观察值离预测值时期越久远，权数变得越小

3． 以一段时期的预测值与观察值的线性组合作为第t+1期的预测值，其预测模型为

(1)

为第t期的实际观察值

(2)

为第t期的预测值

(3)

为平滑系数(

)

1.4.2 趋势型时间序列的预测

1.4.2.1 趋势序列及其预测方法

1.趋势(trend)

持续向上或持续下降的状态或规律

2. 有线性趋势和非线性趋势

3.方法主要有

线性趋势预测

非线性趋势预测

自回归模型预测

1.4.2.2 线性趋势预测

1.现象随着时间的推移而呈现出稳定增长或下降的线性变化规律

2.由影响时间序列的基本因素作用形成

3.时间序列的成分之一

4.预测方法：线性模型法

线性模型法-方程及其求解

其中，

：时间序列的预测值

t：时间标好

：趋势线在Y轴上的截距

：趋势线的斜率，表示时间t变动一个单位时观察值的平均变动数量

根据最小二乘法得到求解

和

的标准方程为

解得

预测误差可用估计标准误差来衡量

m为趋势方程中待确定的未知常数的个数

1.4.2.3 非线性趋势预测

1.4.2.4 指数曲线方程及其求解

1. 时间序列以几何级数递增或递减

2. 一般形式为

其中：

(1) b0，b1为待定系数

(2) 若b1>1，增长率随着时间t的增加而增加

(3) 若b1<1，增长率随着时间t的增加而降低

(4) 若b0>0，b1<1，趋势值逐渐降低到以0为极限

求解方法：

1． 采用“线性化”手段将其化为对数直线形式

2． 根据最小二乘法，得到求解lgb0、lgb1的标准方程为

3． 求出lgb0和lgb1后，再取其反对数，即得算术形式的b0和b1

1.4.2.5 趋势线的选择

1.观察散点图

2.根据观察数据本身，按以下标准选择趋势线

(1) 一次差大体相同，配合直线

(2) 二次差大体相同，配合二次曲线

(3) 对数的一次差大体相同，配合指数曲线

(4) 一次差的环比值大体相同，配合修正指数曲线

(5) 对数一次差的环比值大体相同，配合Gompertz曲线

(6) 倒数一次差的环比值大体相同，配合Logistic曲线

3. 比较估计标准误差

1.4.3 复合型时间序列的分解预测

1.确定并分离季节成分

计算季节指数，以确定时间序列中的季节成分

将季节成分从时间序列中分离出去，即用每一个观测值除以相应的季节指数，以消除季节性

2.建立预测模型并进行预测

对消除季节成分的序列建立适当的预测模型，并根据这一模型进行预测

3.计算出最后的预测值

用预测值乘以相应的季节指数，得到最终的预测值

1.4.3.1 确定并分离季节成分

【例】下表是一家啤酒生产企业2000—2005年各季度的啤酒销售量数据。试计算各季的季节指数

图形描述

计算季节指数

1.刻画序列在一个年度内各月或季的典型季节特征

2.以其平均数等于100%为条件而构成

3.反映某一月份或季度的数值占全年平均数值的大小

4.如果现象的发展没有季节变动，则各期的季节指数应等于100%

5.季节变动的程度是根据各季节指数与其平均数(100%)的偏差程度来测定

如果某一月份或季度有明显的季节变化，则各期的季节指数应大于或小于100%

季节指数-计算步骤

1.计算移动平均值(季度数据采用4项移动平均，月份数据采用12项移动平均)，并将其结果进行“中心化”处理

将移动平均的结果再进行一次2项的移动平均，即得出“中心化移动平均值”(CMA)

2.计算移动平均的比值，也称为季节比率

将序列的各观察值除以相应的中心化移动平均值，然后再计算出各比值的季度(或月份)平均值，即季节指数

3.季节指数调整

各季节指数的平均数应等于1或100%，若根据第2步计算的季节比率的平均值不等于1时，则需要进行调整

具体方法是：将第2步计算的每个季节比率的平均值除以它们的总平均值

季节指数-例题分析

分离季节因素

1.将原时间序列除以相应的季节指数

2.季节因素分离后的序列反映了在没有季节因素影响的情况下时间序列的变化形态

季节性及其分离图

1.4.3.2 建立预测模型并进行预测

1. 根据分离季节性因素的序列确定线性趋势方程

2. 根据趋势方程进行预测

该预测值不含季节性因素，即在没有季节因素影响情况下的预测值

3. 计算最终的预测值

将回归预测值乘以相应的季节指数

1.4.3.3 计算最后的预测值

2006年预测值

实际值和最终预测值图