【暑期必备46个知识点：37】：伴随矩阵

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我是老编~

今天讲一个重要的矩阵，叫做伴随矩阵，为什么称它为伴随，因为它是从原矩阵衍生出来的，可以说没有原矩阵，就没有伴随矩阵。

问题索引：

伴随矩阵的定义是什么？

伴随矩阵需要记忆的结论有哪些？

如何求伴随矩阵？

说到伴随矩阵的定义，就不得不提到一个概念——代数余子式，这个概念是从行列式这一章中提出来的，简单来说是这样：如果有一个元素a_ij，那么这个元素的代数余子式就是把i行j列去掉，剩下的部分，如果把这些代数余子式按照一定的顺序排列，形成矩阵，这个矩阵就是伴随矩阵。

接下来就是详细定义：

设A_ij为元素a_ij的代数余子式，定义A^*=(A_ji)为矩阵A的伴随矩阵。

请注意脚标，伴随矩阵一定要“交换行列”：ij元素的代数余子式要放在ji的位置上，这点一定要注意，不然会出现各种各样啼笑皆非的错误。

那么伴随矩阵有哪些需要记忆的小结论呢？

首先，最核心的结论就是第一条，在第一条的基础上如果加上了A可逆的条件，那么后面的2,3就顺理成章了，而4,5两条为一组，5是在4的基础上推出来的。这些结论在计算伴随矩阵时候就显得尤为重要，你可能从定义中看出来了，如果通过一个一个计算代数余子式来计算伴随矩阵，那就太麻烦了，通常都是使用这种小结论来辅助，比如下面这道题：

如果直接按定义算，那么可就麻烦了，首先要求9个代数余子式，还要再通过初等变换的方法求逆，想想就脑袋疼，但是有了小结论就好办了，根据第3条，直接把这个矩阵的行列式算出来就大功告成了，而这个行列式是什么？正好是一个上三角行列式，计算起来非常方便。

答案：

恭喜你，又学会了一个知识点。

今天是学习的第37/46天，

每天进步一点点，46天带你完成蜕变。