一个未解的数学问题：9棵树，每3棵栽一行，怎样栽10行？

2019年2月8日星期五

（一）问题的由来

一天，儿子神秘兮兮地对我说：“我有一道题，你肯定做不出来！”我既觉得好奇，又感到好笑，说：“什么题？”儿子看了我一眼，摆摆手：“等我看完这集动画片再给你说。”小鬼居然吊起了我的胃口。

看完后，儿子对我说：“有9棵树，每3棵栽一行，怎样栽10行？”

“你这是脑筋急转弯吧！我也给你出一道：树上骑（7）个猴，树下一个猴，一共几个猴？”

“什么意思？”

我又重复了一遍本山大叔的经典智力测试题。

“8个猴？”

“错！2个猴。”

“怎么可能？”

“树上骑着一个猴，骑马的骑。哈哈……”

“骗人！”

“这是脑筋急转弯，你出的题不也是吗？”

“我出的题是有答案的，你想不出来就算了，要不要我告诉你这个笨蛋爸爸？”

“等等……”

栽树

小品《卖车》

我开始在本子上画想到的一种方案。我认为这个题目中所谓的“每3棵栽一行”更应该理解为“3点共线”，行与行之间不是整齐划一的平行关系，是可以而且必须相交的。最容易想到的是“田字格”，但是只有8行，没有成功。

“人家的是这样的！”儿子有点着急，赶紧给我示范。

“你这不能画曲线啊！”我赶紧反驳。儿子也没有成功，但是他记住了点的大概位置。虽然他并不理解点位背后的关系，但的确给了我成功的提示。

这个正确的结果是在构成“田字格”的9个点的基础上变化而来的。为了进一步验证，我又用软件画了一遍。

矩形是ABCD，依次取各边中点为：G、H、I、J，加上中心点E，构成了最初的9个点。接下来将左右两边的中点：G、H，分别向中心点E方向平移到点L、K的位置，得到新的9个点：A、B、C、D、E、L、K、I、J，即为满足条件的“9棵树”。其中，点L、K分别是线段GE、HE的中点。

（重要程度★★★）

“你这是从哪看到的题？”

“一个动画片上。”

我本来想一探究竟，但估计不会有太多的发现。

（二）问题的一般化

我对上述答案及不靠谱的解答方法十分不满，因为由此产生的问题远远要比题目和答案更多！

1.为什么“田字格”不满足题意？只是因为有8条“三点共线”的直线吗？

田字格

2.为什么上面的答案是正确的？除了“10行”或10条“三点共线”的直线外，还有没有其他的原因？

正确答案

3.一个9个点的图，每3点共线，最多可以有多少条这样的直线？最少又是多少？

4.一个n个点的图，每k点共线，最多可以有多少条这样的直线？最少又是多少？

其中：n∈N，k∈N，2＜k≤n。N表示自然数，为何没有k＝2，因为这时就是“完全图”，下面介绍。

（三）问题的相关知识

首先，为了表达的方便，我们引入一些概念。这些概念主要有：简单图（G）、阶（n）、规模（m）、度（deg（v））、完全图（Kn）。

下图是一个“图”：

简单图１

这是一个“简单图”，它由5个点、4条边组成。点的集合（简称“点集”）是：V＝｛A、B、C、D、E｝，边的集合（简称“边集”）是：E＝｛AB、BC、AC、CD｝。为了不致混淆，《图论》中常用小写字母表示点的名称，于是记为：V＝｛a、b、c、d、e｝，E＝｛ab、bc、ac、cd｝。所以说是“简单”，因为具备这样两个特点：

①无重边。重边指连接两点有两条及以上的边。

三重边

②无环。若一条边的两个端点是同一个点，则称此边为环。

环

著名的哥尼斯堡七桥问题中抽象出的几何图显然不是“简单图”，它是一个“多重图”，AB之间、AC之间，分别存在“二重边”。

人教六数下册104页

一般的图用符号：G＝（V，E）表示，说明图G是由点集V和边集E组成的。

我们称呼图的点的数量为图的阶，也就是图G的点集V中的元素的个数，记为：n＝|V（G）|。其中：V（G）表示图G的点的集合V，其元素为点；双竖线“||”表示集合中元素的个数或集合的基数。当一个集合是无限集合时，其元素的个数或基数是没有意义的，数学家又发明了“集合的势”的概念。对于有限集合，集合的势就是集合的基数，也就是集合中元素的个数。

我们称呼图的边的数量为图的规模，也就是图G的边集E中的元素的个数，记为：m＝|E（G）|。E（G）表示图G的边的集合E，其元素为边。

对于多个图，不加区别时，也可以记为：阶n＝|V|，规模m＝|E|。用语言表述为：阶n等于点集V的基数，规模m等于边集E的基数。

若用G1表示上面的简单图1，则有：

n＝|V（G1）|＝|｛A、B、C、D、E｝|＝5

m＝|E（G1）|＝|｛AB、BC、AC、CD｝|＝4

即：G1是一个5阶简单图，规模为4。

若一个图的点集V中的两点vi、vj间存在边（至少一条），我们就称点vi与vj邻接，否则，就称点vi与vj非邻接。边vivj与点vi和vj相关联。简单图中，点v的度指与点v邻接的点的数量；多重图中，点v的度指与点v关联的边的数量。点v的度记作deg（v）。

以上简单图1（5阶规模4）中有：

deg（A）＝2

deg（B）＝2

deg（C）＝3

deg（D）＝1

deg（E）＝0

度的总和：∑deg＝2＋2＋3＋1＋0＝8＝4×2＝m×2＝|E|×2

E点的度为0，我们称为孤立点，因为它不与其他的点邻接。

以上哥尼斯堡七桥问题中的抽象几何图（4阶规模7）中有：

deg（A）＝5

deg（B）＝3

deg（C）＝3

deg（D）＝3

度的总和：∑deg＝5＋3＋3＋3＝14＝7×2＝m×2＝|E|×2

我们给出简单而重要的“欧拉定理”：

在任何图中，点的度的总和等于边数的两倍。

证明：因为图的每条边都关联于两个点，每增加一条边，都将使点的度的总和增加2。

在简单图中，有一类特殊而重要的图，叫做完全图，记为Kn。在该图中，共有n个点，每两个点之间都存在边。下图是1阶～5阶完全图，点数、边数相对较少。

1阶～5阶完全图

完全图Kn中：

m＝n×（n－1）÷2

∑deg＝n×（n－1）

以5阶完全图为例，一共有n×（n－1）÷2＝5×（5－1）÷2＝10条边，5个点的度的总和是n×（n－1）＝5×（5－1）＝20。

如果您对边数的计算有所迷惑，可参阅以下教材：

人教六数下册100页

完全图Kn有两个重要的特点：

①完全图Kn的边数、度数总和是一般的n阶简单图的上限。

②任取Kn中n1（1≤n1≤n）个点，连同只与这n1个点关联的所有边，一定是一个n1阶完全图。

通俗点讲，就是完全图的任一部分（子图）仍然是一个完全图。

３阶完全子图

４阶完全子图

５阶完全子图

可见，完全图恰好回答了问题4（一个n个点的图，每k点共线，最多可以有多少条这样的直线？最少又是多少？）中当k＝2的情况。此时：最多＝最少＝n×（n－1）÷2，显然没有多大的意义。

（重要程度★★★★★）

也许您已经烦透了，别担心，我和您一样。如果我们要将“数学之路”走得稍微远一点，除了要具备一定的“抽象的、逻辑推理的”数学思维之外，还要熟悉必要的概念和数学符号语言。学习首先要从克服表达、交流、沟通的障碍开始。

（四）问题的初步探究

接下来观察一下完全图K9：

完全图K9

稍带着欣赏一下：完全图K26

m＝n×（n－1）÷2＝9×（9－1）÷2＝36

∑deg＝n×（n－1）＝9×（9－1）＝72

对于任意9阶简单图有：

边数：0≤m≤36

度的总和：0≤∑deg≤72

对于三点共线，只有一种情况：

当产生第4点时，有两种选择：

①产生重合直线：

②寻找新的直线：

此时，我们似乎发现了题目隐藏的限定条件：所谓“每k点共线”产生的直线彼此不能重合。

以“五点共线”为例：

若三点相邻，则有：ABC共线、BCD共线、CDE共线，共3条直线重合。计算方法为：C（1，n－k＋1）＝C（1，5－3＋1）＝C（1，3）＝3（条）。组合计算的道理是将“相邻三点”当作一个整体，计算3选1的组合。

若任取三点，则有：ABC共线、ABD共线、ABE共线、ACD共线、ACE共线、ADE共线、BCD共线、BCE共线、BDE共线、CDE共线，共10条直线重合。计算方法为：C（k，n）＝C（3，5）＝5×4×3÷（3×2×1）＝10（条），即计算5选3的组合。

显然，如果不排除直线“重合”的可能，则有些“赖皮”。设若平面上只画了一条直线，我们也是可以大言不惭地说：看，这是十万条直线，只不过全都重合在了一起。

对于“九点共线”，其中包含的“赖皮”一样的“三点共线”，以相邻三点而论时有：

C（1，9－3＋1）＝C（1，7）＝7（条）

以任意三点而论时有：

C（3，9）＝9×8×7÷（3×2×1）＝84（条）

险些夸张地完成题目！

为了使问题更有意义，而不是在“特例”上诡辩，下面我们严格遵循“每k点共线产生的直线彼此不重合”。

对比“三点共线图”和“完全图K3”：

有：

对于“栽10行”，也就是彼此不重合的10条“三点共线”的直线，此时要求符合题意的图：

m＝2×10＝20

∑deg＝4×10＝40

这里的乘以10并不是想当然的，所以这样做，是因为“每3点共线产生的直线彼此不重合”，这就保证了“点重而边不重”，对于结果的边数和度的总和的计算没有影响。

（重要程度★★★★）

事实上，“田字格”只有16边、32度，所以不符合题意。

田字格

正确答案满足20边、40度，您可以验证一番。

正确答案

一个9个点的图，每3点共线，最多可以有多少条这样的直线？最少又是多少？

答案的下限自然是0，比如按“正九边形”的点位栽植：

答案的上限是：

∑deg（V（Kn））÷∑deg（V（Kk））

＝∑deg（V（K9））÷∑deg（V（K3））

＝9×（9－1）÷［3×（3－1）］

＝72÷6

＝12

即用9阶完全图的度数和除以3阶完全图的度数和。

用边数计算得到的结果是一样的。

m（Kn）÷m（Kk）

＝m（K9）÷m（K3）

＝9×（9－1）÷2÷［3×（3－1）÷2］

＝36÷3

＝12

这样计算背后的道理是：当三点共线时，对比三阶完全子图（9阶完全图的任意3点及其只与该3点关联的边构成3阶完全图，如前所述，此处运用），损失了2度、1条边，“栽10行”的结果将消耗9阶完全图的度数：（4＋2）×10＝60，边数：（2＋1）×10＝30，而9阶完全图一共有72度、36边。

（重要程度★★★★★）

从计算来看，似乎存在“9棵树，每3棵栽一行，可以栽11行、12行”的可能，但我实在画不出来。上限并不见得就是可以实现的。

同理，“9棵树，每4棵栽一行，可以栽多少行”的上限是：9×（9－1）÷［4×（4－1）］＝72÷12＝6（行）。只是我能画出的却只有3行，呵呵，惭愧啊。

（五）问题的最终解决

且不论问题4的一般情况的解决，就连问题3也只解决了一半。我只是用最简单的方法划定了一个范围。如何让上限更加逼近实际可以画出的“k点共线”的直线数，或许要用到更为深奥的数学知识。鄙人实在黔驴技穷、力有不逮。就把这个未解的问题留于真正的大神吧！诚如儿子给我说的：我终究没能做出来。

再会。