这样设直线就事半功倍

他的问题是：

这道题用X型的直线方程，计算量相当庞大；而参考答案用y型直线似乎计算量就小了很多，如何判断用X型直线快还是Y型直线快呢？

1

引入：神马是X型，神马是Y型

一定有读者朋友不知道他说的X型和Y型直线指的是什么？

以上图中的题目为栗子，过点（1,0）的直线怎么设？

众所周知，圆锥曲线解答题的运算量庞大，有思路而解不出的情况比比皆是.

讲圆锥综合题就要花很大精力去讲怎样合理运算，怎样优化运算.

容易求得第一问的答案.

2

常规套路：设Y型、联消判韦

先用Y型直线去做.

已知直线BC过定点(1,0)，设Y型直线要考虑斜率是否存在的问题.

先考虑斜率存在的情况.

以上过程都属于常规套路，即所谓的“联立方程、消元、判别式、韦达定理”.

本题中，因为定点(1,0)在椭圆内部，所以直线与椭圆一定相交，故省去了判别式的要求.

3

简化运算：使用“同理”

接着求M点坐标.

如何求N点坐标呢？

我们发现求解N点坐标的过程和求M点坐标的过程完全一样，只需把B点的横坐标换成C点横坐标就行了.

4

小结论：直径圆方程

以M,N为直径的圆的方程如何得到呢？

显然，圆心是MN的中点，半径是MN长度的一半.

下面省略推导过程，我们直接给出一般化的结论.

故本题中，以MN为直径的圆的方程为

5

动圆过定点：消除参数的影响

下面分别计算上式中y的系数和常数项.

将以上两个结果代入圆方程得：

显然，圆的方程随k的变化而变化.

为研究圆过定点问题，就要排除k的干扰，即令k的系数为0即可.

6

别漏解：Y型直线要讨论斜率是否存在

本题还没有解完.

童鞋们觉得辛苦吗？

解圆锥曲线综合题只有两种情况，要么辛苦，要么心苦.

前者属于有思路，有方法，但是运算量大；后者是没思路，没方法，动不了笔.

亲爱的们，你们喜欢哪种呢？

7

另辟蹊径：设X型直线

下面，我们采用X型的直线来处理，看看运算量是否能够小一些.

以上是处理此类问题的常规动作.

分别计算上式中y的系数和常数项.

将上面的两个结果代入圆的方程中得：

为研究圆过定点的问题，令参数m的系数为0即可.

8

X型好处：避开讨论

本题解完了吗？

解完了.

咦，不用讨论直线垂直x轴的情况吗？

这就是X型直线的好处.

9

小结：X型和Y型直线的好处与局限

回答这位童鞋的问题.

1.如果给定直线的纵截距，一般设直线的Y型；如果给定直线的横截距，一般设直线的X型；

2.Y型不能表示垂直于x轴的直线，X型不能表示平行于x轴的直线.解题时要根据题目的具体情况选择能避开讨论的直线形式.

另外，两点提高运算速度的经验：

1.学会使用“同理”简化运算;

2.熟记以线段MN为直径的圆的方程.