2. 本人对试题的研究,不会牵扯政治,也无意对一个地区的命题工作及教研生态构成影响.我只是从学术角度,就题论题表达我的一些想法.如有不妥之处,恳请谅解.与我直接联系也行;
3.出于教师之间交流,我的解答重在思路,不可能像考试时那样规范解答.
上篇文章中,我们提到等腰三角形中一个有趣的性质:
事实上,假如知道等腰三角形的腰长与底边长,同时又知道底边上的一个定点D(如何刻画点D的位置呢?),显然,AD长必定可求.如何求呢?这个结论相当于告诉我们一个直接求解的公式.各人知识层次不同,证法也就不尽相同.但就我们教师而言,有一个共同的价值取向,那就是必须思考:当学生第一次遇到这个问题时,他们是如何思考的.我们又该如何启发他们思考.比较自然的教法是,给出一个具体的问题,请学生思考求解.比如:△ABC中,AB=AC=13,BC=10,D是BC边上一点,且BD=1,求AD的长.作AM⊥BC于点M,则BM=5,AM=12,DM=4,因此AD=4·根10.具体数字的问题会了,一般情况下的证明,学生大体也会了.为了追求过程简洁优美,可以“双勾股作差计算”,再用“平方差公式”,就OK了.当然对于知识面比较广的高手而言,偏要上升到“定差幂线”的高度,来理解这个结论的证明过程,当然更加有意思了.学习数学,要善于提出问题.就学生而言,“提出问题”的方式通常有两种:⑴结论是否可以推广;⑵逆命题是否正确.现在点D在边BC上,假如点D在BC或CB的延长线上,结论又将如何?当点D在边BC两侧的延长线上时,结论为AD^2=AB·AC+BD·DC.直觉上,这里改成“+”也是可以理解的,因为AD>AB了.证明与前面相同,非常简单.大家不妨在纸上推演一下.就多数人而言,写成AB^2是自然的.但就知识面广的高手而言,写成AB·AC,往往基于更深更美的考虑.当点D在BC边上时,BD·DC=AB^2-AD^2;当点D在BC边两侧延长线上时,BD·DC=AD^2-AB^2.抽象一些,索性写成BD·DC=|AB^2-AD^2|也行.无论数学,还是物理,往往都有一个共同的追求,就是追求结论形式简洁,追求结论统一性.为了追求统一,必须将看似相同的几何对象进一步加以区分,并作相应量化.此时,负数的重要性就体现了.在平时教学中,很少有人对这样的现象作深入思索.比如角.对于一个静态的角,如果从动态去理解,那么可以有两种不同的方式得到这个角,有“顺时针”与“逆时针”区别,于是产生“有向角”概念,从而在量化角的大小时,有正负之分;又如面积.在用顶点字母表示同一个三角形时,字母是按“顺时针”书写,还是按“逆时针”书写,看成表示两个不同的三角形,于是产生“有向面积”概念,从而在量化面积的大小时,也有正负之分.等边三角形内任一点到三边的距离之和等于定值(三角形的高). 这个结论在历史上被称为“维维安尼定理”. 假如将这个结论作如下推广:那么结论与证明又将如何呢?有无统一性理解?这个时候,如果采用“有向面积”理解就非常方便. 说得有点高大上了.我们还是从一个更加简单的话题谈起:对于图1来说,点C在线段AB上,则AC+CB=AB.显然,这个结论成立是有前提下,那就是点C必须在线段AB上.假如A,B,C是直线l上任意三个点,显然AC+CB=AB就无法恒成立了.数学是一门让人变得聪明的学科.在数学上,要让这个结论恒成立,有一个方法,那就是对于同一条线段AC,分成两种理解:线段AC与线段CA,将这两种理解成不一样的线段.不一样在何处?它们的方向不一样了.那么如何定义一个有方向线段(简称“有向线段”)的大小呢?于是就产生了一个概念“数量”.“数量”是在“长度”的基础上多了符号了.如果两条有向线段的方向相同,那么它们的“数量”符号相同;如果两条有向线段的方向相反,那么它们的“数量”符号相反.在“有向线段”与“数量”概念的辅助理解下,不管A,B,C位置如何,结论AC+CB=AB始终正确.有意思吧?借助“有向线段”与“数量”,前面所讲的等腰三角形性质,可以写成:就始终正确了.不过需要再次提醒:这种写法成立的前提是要将线段BD与DC理解成“有向线段”,大小要理解成“数量”.当然,如果不想扯上“有向线段”与“数量”概念,那么最简单的方式,就是记住一个符号规律:内同外异.这个规律具有一定普遍意义.在数学中的许多场合下,为了保证结论的统一性,都要遵循这样的符号规律.如数学中比比皆是的“定比分点”现象,包括本文后面将要提及到的“斯特瓦尔特定理”.可以这样讲,没有“负数”,虽然数学仍然是美丽的,但美中存在许多残缺.有了负数,处处可以看到数学中具有统一性的美.这或许是我们许多数学人没有体会到的“负数的伟大”!许多人知道“圆”中有相交弦定理,切割线定理,割线定理,却不知道“圆幂定理”,这是令人遗憾的.可以这样讲,“圆幂定理”是集“相交弦定理”,“切割线定理”,“割线定理”之大成,是三个定理的统一形式.圆幂定理:如图,定点P与定圆O,记OP=d,⊙O的半径为r,过P任意作一条直线与⊙交于A,B两点,则PA·PB=|d^2-r^2|(定值).注:示意图将P画在⊙O外,其实P在⊙O上,P在⊙O内,包括当点A与点B重合,即直线与⊙O相切时,结论始终是正确的.前面所讲的等腰三角形的性质,也可以上升到“圆幂定理”的高度理解.建议有兴趣的老师研究一下.本文所讲的是三角形中,当有两条边相等时,将出现的一个性质,我们可以粗略地称之为“等边性质”.三角形中,还有一个“等角性质”,只不过这里的“角”并非三角形自身的角.如图,AD是△ABC的角平分线,则AD^2=AB·AC-BD·DC.这是一个非常有意思的结论,当初我在学习平面几何时,只知道教材中的“角平分线定理”,即AB/AC=BD/DC.后来,在阅读课外书籍时,发现竟还有这样美妙的结论,深感惊奇与震撼. 这个结论在历史上被称为“斯库顿定理”. 如果说前面等腰三角形中,AB·AC还可以写成AB^2的话,那么这里无论如何都不能这样写了.如何证明这个性质呢?如同前面所说,“初始学习的人”与“有过研究的人”证明的想法不同.对于初始学习的人来说,以下的探索过程是非常合理的:AD^2=AD·AD=AD·(x-y)=AD·x-AD·y
如何解读AD=x-y,大体暗示我们延长AD至点E,则x=AE,y=DE.作如上处理后,后续想法呢?设想让AD·x=AB·AC,BD·DC=AD·y.对于有过研究的人来说,证明过程几乎以“背上并优化”后的形式呈现:这样的证明,让我想起关于大名鼎鼎的德国数学家高斯的故事.高斯,被后人称为“数学王子”.他的著作,立论严谨、结构完美.他掩盖了结论发现的过程,呈现出来的都是最终的精致绝伦的学术形态,很难读懂.有人曾说:“高斯像一只狡猾的狐狸,总是用尾巴扫去身后的足迹.”而高斯本人的态度是,“在盖好大楼以后,脚手架当然要拆掉”.
就我们教师而言,在新课教学过程中,应站在学生的角度,尊重学生的认知规律,讲出初始想法,提供合理证法。在学生理解了证明过程后,可以与学生进一步探讨,如何优化证明过程。这样的教学过程,才是科学合理的。
有意思的是,可以用“斯库顿定理”证明著名平几难题“施泰纳-莱默斯定理”,即“有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形”. 后者通常用反证法证明. 直接证法非常难想,当然也有几种. 为什么将本文等腰三角形的性质中AB^2写成AB·AC,现在可以解释了.
观察前面“等边性质”与“等角性质”结论,形式高度一致!甚至我们可以用语言作如下描述:所谓“中方”,指“中间线段的平方”,“上积”指上面两条边的乘积,“下积”指下面两条线段的乘积.学习数学需要具备一定欣赏美的素养,如变中不变的结论,结论的简洁形式等等,都会让人感觉数学之美妙. 如此,你才会乐此不疲地研究数学.学习数学,要善于提出问题,向自己挑战,如此坚持下去,你的数学水平将会越来越高,看到的风景也将越来越美妙.在数学上,思考逆命题是否成立,这是“提出问题”的一个常用方式. 比如说,前面提到的“施泰纳-莱默斯定理”就是“等腰三角形两个底角平分线相等”的逆命题. 在前面两个结论的基础上,我们很自然会思索一个逆命题:提出问题:如图,△ABC中,D是BC边上一点,若AD^2=AB·AC-BD·DC,能推出什么结论呢?AB=AC?不一定!AD平分∠BAC,也不一定!AB=AC或AD平分∠BAC?有无其他可能?建议有兴趣的老师深入研究.如图,△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,若∠B=2∠C,求证:b^2=c(c+a).这是一道经典几何问题,除了高中的三角证法外,许多人认为,纯平几只能用相似证明.好,我们先介绍相似证法.证法1:延长AB至点D,使BD=BC,则∠D=∠ACB. 证法2:延长CB至点D,使BD=AB,则∠D=∠C.由本文中等腰三角形性质得,BD·BC=AD^2-AB^2.即c·a=b^2-c^2,进一步变形整理得,b^2=c(c+a).就是说,在八年级的时候,此题就可以提供给优秀学生思考.从确定性的角度讲,若△ABC是确定的,D是直线BC上的一个定点,那么AD长必定可求!这个结论是什么呢?数学上有这个结论上吗?有!这就是“斯特瓦尔特定理”,显然这是“曲高和寡”的知识,也并非我们这篇公众号文章继续写下去的事情了.赶紧打住.交流数学的时光是美好的,让我们期待下一次继续在这里重逢交流. 1.关于“数学行者”与“我的专场”回放视频,至明年2月份一直可以观看,遗憾是收费的。有人希望免费,可惜我没有这样的权限。再说,果真免费,也对不起前面付费的人。3.两个会议的“会务手册”都没有了。但如果购买视频回放,将赠送“会务手册”PDF文档,可以自行打印。
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5.多少人参加会议。我上传几张现场照片……,权当解释,顺带宣传。
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