2. 个人思考,未必正确,仅供教学参考。
最近看到有学校开学后的教学内容是:用“配方法”解一元二次方程。如何上好这一节课,在这里谈谈我的想法,供教师教学参考。
1.认识难点
以解方程x^2-2x-5=0为例。
可以这样讲,如果没有人指导,几乎没有人会解这样的方程。有人不服气,那是因为基于你现在已有的知识现状,试想,假如你第一次遇到这样方程,你会解决吗?如果不信,你可以挑一名优秀的初二升初三的学生,试试看呢?
当你尝试想解决这个方程时,困难在何处?
方程中有两处含有未知数,同时,这两处还不是“齐次”,无法合并。
我个人建议,对于数学中一些重要的词语,可以体现在我们的教学过程中,将这些词语口语化。如这里所说的“齐次”。万事开头难,经常说,学生也就慢慢懂了。又如“描述”,“刻画”,“量化”等这些词语,恰当表达这些词语,能够体现数学思想方法。
让学生体会难点,主要有两个目的:
⑴促进学生思考
有些问题虽然我们不会解决,但必须认真对待,积极思考,进入状态,想方设法解决问题。
现实中,一些学生遇到问题,稍有不会,便茫然无绪,懒于思考。甚至有人立即以“不会”而交差。因此,我们要及时教育学生,可以说不会,必须要思考,在思考后说出不会的原因,困难在何处。
⑵对比加深理解
有问题不会解决,这是正常的事情。经过思考后,感觉某个难点难以克服。对于多数人来说,自然产生好奇心,这个难点最终究竟如何解决?当教师津津有味讲解后,学生印象更加深刻。这里体现的是“没有思考,就没有欣赏”的效果。对于优秀学生来说,他或许会惊喜于处理问题的技巧,从此更加热爱数学。
对于我们教师来说,要有“回归初始之心”习惯。应静下心来,独立地思考,假如我第一次解决这个问题,我将遇到的困难是什么?想自己的初始之心,能理解学生之所想,这是了解认知学情的最好方式。
2.目标追求
想法:能否通过代数手段将一次项“化”掉。这是目标追求,能否实现,不得而知。但首先要敢想,敢想才有希望,敢想才有敢为。没有想法,什么都是空谈。
3.解决方法
这里提供三种解决方法,供教师教学时参考。
⑴待定常数,换元处理
设x=y+m(高观点讲:作一个线性变换)。要求x,只要求y。
代入原方程得,(y+m)^2-2(y+m)-5=0,则y^2+2(m-1)y+m^2-2m-5=0。
为了消除一次项,令2(m-1)=0得,m=1,因此y^2-6=0.y=±根6。
从而x=1±根6。
⑵反向思索,原路返回
以解方程(x+2)^2-3=0为例。
一方面,可以用“直接开平方法”可以求出x;
另一方面,也有可能不小心,将原方程展开变形:
x^2+4x+4-3=0,从而x^2+4x+1=0。
就局部而言,这样的解法“失败”了,但从中受到启示:假如原先给的就是这样的方程,那么前面的过程,对我们有什么启发呢?失败是成功之母,我们可以“原路返回”,从而解决问题。
在此基础上,可以通过一些特殊的例子,寻找“原路返回”的规律,从而学会解一般形式的一元二次方程。当然,这里也可以通过“待定系数”找到“原路返回”的规律。
⑶配凑意识,无缝对接
与公式(x+m)^2=x^2+2mx+m^2比较,发现所有x^2+px的形式,均可以作为“火车头”配成一个完全平方式,差异仅仅是常数项的调整而已。
这样的想法,类似几何中的“构造”,实际上是最难想到的。
恰恰相反,由于我们老师缺少自己的思考,往往喜欢直奔主题,直接教这种方法,然后训练形成技能。
教师总是急急忙忙将知识与方法直接教给学生,然后将大量时间花在练习上,却不愿意在真实的探究过程上花时间,这是急功近利的表现。
从理解的角度讲,一方面,可以说教师没有思考;但另一方面,教师也没有办法,因为应试压力大。
4.教法思辨
⑴传授与探究
泛泛而谈,数学教学需要重视探究过程。探究需要智力,需要时间,需要毅力,而这往往是优秀学生才具备的表现。对于普通平常的学生而言,这是“奢侈”要求。对于他们来说,能够学会新知识,通过练习,形成技能,这也是一个非常不错的结果。因此采取什么样的教法,往往因人而异,没有一成不变的做法。
以“有理数乘法”的“负负得正”运算法则为例,要通过生活情境提炼运算法则,这其实是一件非常困难的事情,既需要智力,也需要时间。
我担任多年初高中数学教研员,我经常拿这节课的例子来考高中数学教师:你能够通过生活中的例子说明有理数乘法法则“负负得正”的合理性吗?许多高中数学教师在思索一段时间无果后,都是笑笑放弃了。关于袁隆平说数学不讲道理的故事,就是说的这件事情。
何况刚刚从小学生升上来的初一学生,上课注意力时间短暂,通过绕来绕去的生活情境,很容易将学生绕晕。当得到法则后,再加以训练,这样的教学效果或许更差。
因此对于生源较为一般的农村初中来说,为避免出现前面那样的情况,可能选择“先死后活”的教法。所谓“先死后活”的教法,简单说:告知法则→运算训练→理解法则→……。“告知法则”也并非一上来直接将法则告诉学生,而是通过简要的方法,让学生合情推理得出法则。比如2×3=6,那么你认为2×(-3)=?……
在简要得出法则后,重在运算训练,在训练中掌握法则。当学生在运算上形成技能后,再来理解法则的合理性。
教无定法,贵则得法。根据不同学情,选择不同教法,这对教师来说,也是一种能力要求。
由此我联想到,作为教研员听课,对老师的评价也要给予理解与包容。有时候,教法很难有对错之分,没有一成不变的教法。只要充分了解学情,采取相应教学方法,就是比较科学的做法。
⑵形式与本质
多年的听课,让我纳闷的是,许多教师在“分式”,“一元二次方程”,“反比例函数”等这些概念的教学上,花费大量时间,进行所谓的“探究”归纳。形成概念后,还给出很多例子让学生判断。
在我看来,这些都是形式化的概念。出现这些概念,本意是“循序渐进学习;知识适当分类;方便交流名称”而已。这些概念在数学上,并没有什么本质价值。因此在这些概念的教学上,花费大量时间,实在没有必要。
正因为如此,探讨x^2+2=5x+x^2-1是不是一元二次方程;探讨x^2/x是不是分式,……,等等,都是非常无聊的事情。
非常巧合的是,在我撰写本文时,网上正有人讨论两个问题:x=1是不是方程?(x^2-1)/(x+1)是不是分式?
比较之下,本文研讨的配方教学,却极具教学价值。因为“配方”技巧富有数学思维。在这里花费一定时间,让学生思维得到提升,让学生欣赏数学中处理技巧,对数学学习大有帮助。
在一些形式化的概念花费大量时间,而在富有数学思维的处理技巧却一带而过,这让人很痛心。
5.素养拓展
但愿你已经忘记曾经学习过的高中数学知识,这样或许我们更加方便讨论下面的问题:
假如要你口算y=2sinx的最大值,你会吗?要你口算y=2sinx+3cosx的最大值,你会吗?
为什么前者会,后者不会?当你真正想解决后面问题时,你会真切地产生苦恼:两处含有x,怎么办呢?有没有处理方法,让“两处”未知数变成只有“一处”未知数呢?
我想以这个例子类比说明,当你“从无到有”解一元二次方程x^2-2x-5=0时,你会真切地产生这样的苦恼,从而你更加理解学生遇到这个新问题时所产生的一些想法。
6.读史明智
读史可以明智。我多次在不同场合下,呼吁教师多读书,要多读一些科学人文史。作为数学教师,不读数学史,让人很无语。
针对本节课,我建议老师们抽空去读一读历史上如何解决一元二次方程,一元三次方程,一元四次方程的过程。
当你读完与此相关内容的数学史后,你可以了解历史上意大利文人之间的挑战;塔塔利亚与卡尔达诺之间的恩仇录;卡丹公式;伽罗华因“革命”而入狱,出狱后接受决斗而失去生命;阿贝尔的英年早逝。这些既可以让你了解一些非常有趣的故事,也为一些英才早逝而扼腕叹息。
需要说明的是,在解决前面三种类型的方程时,有一个步骤共同的,也是非常关键的!那就是必须先将比最高次项低一次的项“化掉”!
就一元二次方程而言,从x^2+px+q=0变形成(x+m)^2+n=0这个过程,往往给我们带来这样一个印象:通过配方,将除了最高次项外,其余项全部化成了常数项。
其实这样的想法是一个错觉。正确的理解应当是,总是将比最高次项低一次的项“化掉”。
比如说,为了解方程x^3+ax^2+bx+c=0,总是通过“代数变换”或者“配方手段”,将ax^2这一项“消除”掉.……
为了解方程x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0,总是通过“代数变换”或者“配方手段”,将ax^3这一项“消除”掉。……
了解这些宏大背景,站在这样专业高度,将会让你对“配方”有着更深刻的理解。
顺便说一句,对于一般形式下的“一元五次方程”乃至更高次数的一元高次方程时,不存在精确求根公式了。
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5.多少人参加会议。我上传几张现场照片……,权当解释,顺带宣传。
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