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一、勾股差定理
“勾股定理”大名鼎鼎,内容如下:
这也告诉我们在一个三角形中,如何由三边长判断一个内角是否直角.
自然联想:三角形中,如何由三边长判断一个角是钝角或锐角呢?
如图,△ABC中,去除条件∠C=90°,固定a与b,将边CA与边CB绕点C作转动,使∠C在90°的基础上变大或变小,不难感受到:
如果将a^2+b^2-c^2称为“∠C的勾股差”,那么在前面的基础上,我们产生好奇心,对于任意三角形,a^2+b^2-c^2的几何意义是什么呢?
这就涉及到要讲的“勾股差定理”了.先给出结论,再提供证明.
文字语言:一个角的“勾股差”等于夹这个角的一条边与这条边在另一条夹边上投影长乘积的2倍.注:这里的“投影”是“数量”,有正负之分.
如图,作BH⊥AC于点H,当∠C<90°时,
注:严格意义上,这里需要分类阐述.
当点H在CA边上时,CH+AH=b,CH-AH=2CH-b;
当点H在线段CA的延长线上时,CH+AH=2CH-b,CH-AH=b
无论哪一种情况,a^2-c^2=b(2CH-b)始终正确.
感叹:由于初中没有“有向线段”与“数量”概念,因此许多证明只能“支离破碎”,或者“以偏概全”.
因此a^2+b^2-c^2=2b·CH.
当∠C>90°时,类似地可以得到,a^2+b^2-c^2=-2b·CH.
与∠C<90°相比,这里出现“-”,是因为a^2+b^2-c^2<0.
再次感叹:在“有向线段”与“数量”下,这两个结论可以统一成a^2+b^2-c^2=2b·CH.对于CH,与CA同向时,取“+”;与CA异向时,取“-”.
用高中的“余弦定理”理解,“勾股差定理”成立是显然的,这是由于
二、定差幂线定理
在数学竞赛的几何证明中,经常要用到以下定理证明两条直线互相垂直.
定差幂线定理:如图,P,Q是直线l上两个点,对于线段AB来说,
证明:若l⊥AB,证明过程略.
下面证明PA^2-PB^2=QA^2-QB^2→PQ⊥AB.用“同一法”.
作PH1⊥AB于点H1,由“勾股差定理”定理得,
注:这里的AH1与AB的大小是“数量”.
同理,作QH2⊥AB于点H2,由“勾股差定理”定理得,
类似地,这里的AH2与AB的大小为数量.
从而结论得证.
三、对角线互相垂直的四边形
相对来说,知道这个结论的人要广泛一些.由前向后证明,非常容易.由后向前证明,比较困难.
很少有人注意到,这个结论可以理解成是“定差幂定理”的一个推论.事实上
因此证明过程略了.
四、四边形中的余弦定理
先给出结论,再提供证明.
四边形余弦定理:如图,四边形ABCD中,AC与BD交于点O,∠AOD=∠BOC=α,则
这个结论与三角形中的余弦定理a^2=b^2+c^2-2bc·cosA高度相似.这是由于:
图中的α角的朝向而言,
AD^2+BC^2:对边平方和;AB^2+CD^2:两侧平方和.
如此理解,与“三角形中的余弦定理”超级相似!
文字语言:夹边平方和-两侧平方和=两条对角线与方向角余弦积的2倍.
从而得证.
类比三角形中“余弦定理”与“勾股定理”之间的关系,有人将本文中“对角线互相垂直的四边形的性质”称为“四边形的勾股定理”.
五、一般四边形的面积公式
若四边形ABCD的边长分别为a,b,c,d,四个角分别为A,B,C,D,则面积为
这个公式于1842年由布莱特施耐德(Bretschneider)得到.
将前面两个等式分别平方再相加得
在这个公式的证明过程中,用到了高中的三角公式.
当四边形ABCD退化至其中一条边为0,比如d=0时,这个公式即退化为三角形的“海伦公式”
当四边形ABCD特殊至圆内接四边形时,则A+C=180°,此时公式变为“婆罗摩笈多公式”
关于“婆罗摩笈多”,在几何中还有一个“婆罗摩笈多定理”,有兴趣的读者,可以上网查一下.
更有趣的是,如果一个四边形既内接于圆,又外切于圆,则将这样的四边形称为“双圆四边形”.双圆四边形的面积公式将更加简洁:
六、四边形面积最大值
三角形具有稳定性,当一个三角形三边长已知时,这个三角形的大小确定,因此存在“海伦公式”.但对于四边形而言,由于不具有稳定性,因此即使已知四边形的四条边长,这个四边形形状仍然可以变化,因此其面积存在最大值的说法,那么如何求其最大值呢?
一方面,可以由前面“一般四边形的面积公式”
立即可以得到,当A+C=180°,即四边形ABCD内接于圆时,四边形ABCD面积取得最大值为
另一方面,这个证明虽然简洁,但这是“站在巨人的肩膀上”,由“叠加”与“递进”产生的效应.如果“从无到有”地证明,过程势必非常繁琐冗长.那么有无适当较为简洁的证法呢?有.
一方面,在四边形中,有余弦定理:
另一方面,由四边形面积公式得:2AC·BD·sinα=4S
注:这个过程与用高中方法推导“海伦公式”非常类同.
由“托勒密不等式”AC·BD≤ac+bd(当且仅当A,B,C,D共圆时取得号)得
因此,当且仅当A,B,C,D共圆时,四边形ABCD面积取得最大值.此时最大值为
初等数学研究博大精深,真切希望我们数学教师热爱研究,广泛涉猎,努力提高自己的专业水平.只有站到一定专业高度,你才会看到数学大花园中的美丽风景,从此让我们热爱数学,在数学教学指导中才能更加游刃有余,并且因为你的热爱,学生从中受到感染与激发,从此他们也会爱上数学.这是我们需要追求的教学境界.
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5.多少人参加会议。我上传几张现场照片……,权当解释,顺带宣传。
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