初中数学题的编制方法(来自黄伟建老师的博客）

 过去，我不会自己编题，备课、出卷都是东抄一题西抄一题的，时间花得多，教学目标难达到，试卷质量差，效果不好。后来，我大着胆子自己尝试着编出几道题，很高兴、很管用。至今，编题数量已难以统计，所编的题在多种重大考试中使用，命题质量受到同行好评。

我越来越尝到了自己编题的甜头，备课轻松了，甚至不用备课。上课时的例题、练习题随手写来，随要随出。命题时基本上可以实现无纸化、无参考。自己觉得解放了、减负了，应付各类评比考试轻松了，提高了自己的业务水平。

那么，怎样才能编出好题呢？我想首先要做一个有心人，处处留心，处处关注。具体的说要做到以下几点：

1. 加强对题目的记忆
2. 关注各种题目之间的联系
3. 解题留有余地（还有什么结论，条件如何改造，图形如何简化，与以前的题有什么联系等）
4. 多思考，提高敏锐性
5. 多观察，生活中有数学
6. 关注学生的错误，它是编题的素材
7. 错题可以收集，它是编题的素材
8. 难题可以改编，它是编题的素材
9. 有新的发现及时记录
10. 个人奇特的见解是萌发编题的火花
11. 以欣赏的目光看好题

下面介绍几种初中数学命题常用的编制方法。

 

1、学生的日常错误作为编题的素材

学生在作业、课堂练习、考试中经常会出现各种各样的错误，我们教师要关注、要收集。说不定就能因此编出好题来。

例1   如图所画的数轴正确的有（  ）    A、1条  B、2条  C、3条   D、4条

这是收集了学生画数轴时的错误所编的一道题，答案：A。

例2 有以下三个命题，判断这三个命题的正确性（在括号内打√或×）

①平行四边形是中心对称图形             （   ）
②四边形中只有平行四边形才是中心对称图形（   ）
③平行四边形不是轴对称图形             （   ）

在教一般平行四边形和特殊平行四边形关系时，学生表面上好像懂了，其实做了这一题后会发现，不懂的学生实在太多了，尤其是第②个，学生认为是错的，理由是还有矩形、菱形。答案：①√②√③×

例3 如图，是根据媒体提供的消息绘制的“宁波各大报刊发行量统计图”，那么发行量的众数是（   ）

A、宁波晚报        B、宁波日报和东南商报         C、33万           D、22万

看似简单的问题，很多学生（包括一些老师）都选择了C，他们认为“33万”是最多的数据，这是对“众数”的曲解，也有选A或B的，怎么可以选报纸的名称呢？

有一次作业中做到这样一题：

长为30cm宽为10cm的正方形白纸按如下图所示的方法黏合起来，黏合部分的宽为3cm, (1)求5张白纸黏合后的长度，20张呢？(2)若x张白纸黏合后的长度为y（cm），写出y与x的函数解析式。

当时学生错误百出，课堂讲解后为了巩固我随手又编了一题：

例4 半径为1的圆形纸片按如下图所示的方法黏合起来， (1)求5张纸黏合后的长度，20张呢？(2)若x张纸黏合后的长度为y（cm），写出y与x的函数解析式。

结果很多人还是错，急中生智又编了下题：

例5 如上图，圆环的外径为8，内径为6，(1)6个这样的圆环套起来后拉紧的长度是多少？(2)若x个这样的圆环套起来后拉紧的长度为y（cm），写出y与x的函数解析式。

2、为了测试学生的某种能力而编题

为了测试学生的逆向思维能力，我编了下题：

例6 有30个贰分硬币和8个伍分硬币，那么在1分至100分的100种整数币值中不能支付的有                 （    ）

A.2种      B.4种       C.6种       D.8种

为了测试学生的运动能力，我编了下题：

例7  如图四边形ABCD中，AB=4，BC=7，CD=2，AD=x，求x的取值范围。

例8 等腰梯形ABCD的周长为12，一个底角为60°，设较大的底边为x，那么x的取值范围是              。

为了测试学生的动手操作能力，我编了下题：

例9 大家都玩过七巧板吧，今天让你玩一玩四巧板。将一个正方形硬纸板按如图的方法分成一样的直角三角形，这样的四个三角形能拼成各种四边形，请问共有几种平行四边形？请你一一将图形画出来（正方形不算）

答案有10种，不动手操作怎能获得？

例10 如图一个长方形被分成6个正方形，有5格内写有字母A、B、C、D、E，另有一空格，每次可以将空格周围（上下或左右）的一个字母向空格作平移，要想将字母A平移至最右下角，至少要作几次平移？

答案：11次

3、老问题编出新面孔

有一些很平常、很常见的题，你可不能习以为常、不以为然哦，或许可以改编成一道全新的题。但这需要你有敏锐的触角和洞察全局的思维。

例11 有一道老题目：6罐可乐用图1、图2两种方式捆扎。（1）判别哪种捆扎一圈的绳子长？（2）在图1的基础上不解开绳子，再塞进一罐可乐，可行吗？

答案是可行的，如图3，因为一圈的绳子与图1、2一样长。我就萌发灵感，改编如下：

六听可乐罐有如图1、2、4三种捆扎方式，哪一种捆扎更牢固？为什么？

答案：图4捆扎更牢固，因为图4的一圈绳子长比图3更短。关于图4绳子长的计算，请参见《学生妙解数学题》的第6题。

例12   常见的一道题：如图，D在直线BE上，BE交AC于F，△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE。

挖掘出这道题的更多结论，编一道题：如图，D在直线BE上，BE交AC于F，△ABC∽△ADE，你还能找到更多的相似三角形吗？

答：还能找到2对： △AEF∽△BCF，△ABF∽△CEF。

例13   常见的一道题：如图，三角形ABC中，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，设∠A=x度，∠O=y度。求y关于x的函数解析式并求x的取值范围。

挖掘出这道题的更多结论，编一道题：

1、∠O一定是什么角？为什么？

2、如图，以△ABC的边BC为弦，在点A的同侧画弧BC交AB于D（弧DC＞弧DB）， 在弧DC上取点P，连PB、PC，已知∠BPC=

.（1）当∠A=50°时，求∠BDC的度数；（2）判定△ADC的形状，并说明理由；（3）当PB平分∠ABC时，求证：PC平分∠ACB.（4）是否存在这样位置的P点和AB上一点M，使得△BMP和△BPC相似？若存在，请在备用图中画出所有符合条件的图形；若不存在，请说明理由.

解1：∵

，∴90<y<180，∠O所以是钝角。

解2：这道题是典型的旧题变新题，是某年我区初三统考试题。是我和小梅合作的结晶。本题改编的思路是：

将已知（角平分线）和结论（

）对换.第（4）题是受到下面这道题的启发：

如图，△ABC的内角平分线交于P，过P作EF⊥PA，求证：△BEP∽△BPC。

4、观察生活引发编题灵感

生活中有数学，数学可以解决生活问题，很多生活实际问题从来没有人用数学眼光看待，一旦你扑捉到了，你就是第一人。下面几例是我的得意之作。

例14   电台里的播音员正在播《葫芦娃的故事》，“蝎子精举着大刀劈向三娃，三娃金刚铁臂，他手起刀落，啪！啪！啪！蝎子精的刀被劈成了3段，……”。这段故事中有个错误，请你改正               。

这是我儿子小时候听磁带听出来的问题：“爸爸，啪！啪！啪！三下应该的4段，这位叔叔讲错了”。

例15   电信部门推出付100元钱享受120元的通话费的业务，对用户来说优惠了（   ）

A、20%        B、16.7%       C、15%        D、12%

这是我老婆告诉我广告消息后引发的故事，广告说：大优惠了！付100元钱享受120元的通话费，优惠20%。

例16   小明家的餐桌周围放有6把椅子，妈妈拖地有个习惯，先把椅子搬开，拖干净后再把椅子照原样放好，这样就算2次移动。那么要把餐桌周围的地拖干净，一共需移动          次椅子。

这是小时候我妈妈叫我干活干出来的。我为了偷懒就如图那样将1号椅先移到外面，拖好后，将2号椅放到1号椅的位置，拖好2号椅的位置，将3号椅放到2号椅的位置，以此类推，一共7次移动就行了。

例17   两人猜拳时各出一手，握拳表示0，伸一指表示1，依次类推．我们把两拳相加的数称为拳数。①问猜中拳数为5的概率是多少？②如果猜中拳数者为胜，那么猜拳的人为什么喜欢猜拳数为5？

这是年轻时候喝酒喝出来的题。过去不懂为什么猜5算输的道理，现在想想还真有道理，制定这个法则的人是数学家啊。

例18   某次数学考试，因试卷难度大而导致成绩普遍很差，老师为了提高学生的分数，采用将每人分数先开方再乘以10的方法。如36分的人计算方法是

，即经过这样处理后的分数比原来高了24分。一个爱动脑筋的同学发现：不同的成绩增加的分数不一样多。请问几分的人经过处理后加分最多？说明道理。

以前，由于没有控制好试卷难度，使得考试成绩普遍偏低，老师就用这种方法来调整分数，由于这个学生的好奇，使我获得了编题的素材。解此题可以设经过处理后的分数为x分，增加的分数为y分，那么

，该函数的最大值是25.

例19 有一种电脑软件叫做“画图”，它有个功能，可以复制已经出现在窗口的所有图形，粘贴的图形又可以进行任意的平移。我们把复制、粘贴各一次或不复制只粘贴一次叫做一次操作。如图，现已有一个正方形在窗口，至少要进行         次操作，才能在窗口中出现4×4的正方形网格。

这是玩电脑玩出来的题。

5、为了运用某种数学方法而编题

例20   如图，两个完全相同的长方形ABCD和CDEF拼在一起，已知AB=1，AD=a，以A为圆心，a为半径画弧，交BC于G；以D为圆心，a为半径画弧交DC延长线于P，交CF与H，当两个阴影部分面积相等时，则a的值是           (π取3)．

这是考查学生平移变换运用能力。 从左边的原图平移到右边的图，使两个阴影部分放在同一个矩形中，就容易沟通数量关系了。

例21   甲打擂台，有乙、丙来应战，假设每人战胜对方的可能性一样大，则甲打擂成功的可能性是（   ）A、1/2        B、1/3       C、1/4         D、1/6

这是考查学生运用乘法原理的能力，这道题用树形图或列表的方法学生相当困难，如果考虑甲要打擂成功必须分两步战胜乙和丙，胜的概率分布都是1/2，这样两个1/2相乘就得到1/4. 选C.

例22   如图6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点上已有2点A、B，再找一个格点C，使△ABC的面积等于2，这样的C点共有   点。

6、根据考试意图编题

例23   某地一辆汽车牌照为“ZS-659”，由于下雨，牌照在地面有倒影，那么开在该汽车前面的同向汽车里的司机从后视镜里看到它在地面倒影是       （       ）

水倒影是上下轴对称的，照镜子是左右轴对称的，既有水倒影又有照镜子，即既有上下轴对称又有左右轴对称，也就成为中心对称了，这是生活常识。

例24   线段

（1≤x≤3），当a的值由-1增加到2时，该线段运动所经过的平面区域的面积为（  ）

  A．6      B．8       C．9        D．10

考试的意图就是考一次函数，这样的题就编得有新意了，不过也难了。

例25   有如下一些正方体表面展开图，要考学生正方体表面展开图的概念。亲爱的读者，你会如何编题？

我是这样编的：

（1）如左图，在一个周长为14cm的长方形里，剪出一个正方体表面展开图，这个正方体的棱长是多少？

（2） 我们可以在面积为3×4的矩形中画出多种棱长为1的正方体的表面展开图．请你设计一种面积比3×4更小的矩形，使得我们能在其中画出棱长为1的正方体的表面展开图，并画出这个正方体的表面展开图．（答案如中图）

（3） 如果给你同样的面积为3×4的矩形，请你在其中画出棱长大于1的正方体的表面展开图，并计算你所画正方体的表面展开图折成正方体后的棱长．

解：如右图设计，AB=3，BC=4，则△AEF∽△BGE，且相似比为1：4，设BE=x，那么AE=3-x，AF=x/4，BG=4AE=12-4x，CG=4-BG=4x-8，∴4x-8=x/4，∴

，∴

，

，

>1.

7、根据解题方法编题

想知道自己讲过的解题方法学生掌握了没有，可以编几道题考考。

 

如学习平行线时，我们多次接触到如下图形。

把它们串到一起编一道题，效果不错。

例26   已知两条线段AB∥CD，点E不在AB、CD所在的直线上。∠ABE=α，∠CDE=β，∠BED=γ。请你就E点的不同位置尽可能多的画出各种图形，写出该图形中α、β、γ的关系，现在解法1已经给出，其余解法只给出α、β、γ的关系，请你在方框内画出每种解法相应的图形。

解法1：如果所画的图形是如图所示的图形的话，那么有γ=α+β

解法2：如果所画的图形是如图所示的图形的话，那么有α+β+γ=360°

解法3：如果所画的图形是如图所示的图形的话，那么有β=α+γ

解法4：如果所画的图形是如图所示的图形的话，那么有α+β+γ=180°

学习了相似三角形后，我们比较重视有“两个公共”的两个相似三角形，即如图D在△ABC的边AB上，且∠ACD=∠B，那么△ACD∽△ABC。这两个三角形有公共边AC和公共角∠A，所以称为“两个公共”的相似模式，它还有进一步的结论：

（公共边的平方等于同一直线上两边的积），CD:BD=相似比（公共角所对的两边之比等于相似比）。学生对这个方法掌握如何？编题如下：

例27   △ABC中∠ACB=90°，AB=5，D是BA延长线上一点，∠DCA=∠B，DC=6，则tan∠DCA的值等于（  ）

A、

   B、

   C、

   D、

8、为了打破学生定势编题

学生解题往往会受到习惯定势所影响，这里的“习惯定势”指的是受解过的题影响，思维习惯等，也就是禁锢的思维，不够开放、不够发散。

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D在AB上，作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，当D从A点向B点移动的过程中矩形DECF的最大值是多少？

本题中矩形DECF的变化情况是：先增大后减小，为了打破学生定势，我编题如下：

例28   如图Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D在AB上，作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，当D从A点向B点移动的过程中，矩形DECF的周长变化情况是（   ）

A、逐渐变大      B、逐渐变小     C、先变大后变小     D、先变小后变大。

又有一题，学生都是按常规的方法解的，即先建立以O为原点的坐标系，求出第一象限内的解析式，再求出B的坐标。

如图，某公园要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水。连喷头在内，柱高为0.8米，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下（如图），水流最高点距离水面1.8米，距离柱子水平距离1米。如果不计其它因素，那么为了喷出的水都落在池内，水池的直径至少为 （   ）A、       米   B、      米   C、4米     D、3.8米

为了改变学生这种解题习惯，我编题如下：

例29   小张和小李同做如下一道题：（题目如上）

小张说：“我先建立以O为原点的坐标系，求出第一象限内的解析式，再求出B的坐标。”小李说：“我不需要建立坐标系，也不求解析式，但我可以看出答案是哪个。”请你先按照小张的说法写出解题过程，选出正确答案；再按照小李的说法写 出思考的过程。

9、对已有的题目进行改造

许多数学题做过后可以稍作改变，就成为一道新题，效果不错。

例30 原题：如图，4×5的正方形网格中有一个△ABC，请你在此网格中画出2个三角形与△ABC相似，且彼此都不全等，使它们的顶点都落在小正方形的顶点上。

新题：如图，由边长为1cm的20个小正方形组成的正方形网格中有一个△ABC，请你在此网格中画出四个三角形与△ABC相似，且彼此都不全等，使它们的顶点都落在小正方形的顶点上。

别小看4×5换成2×10只是数据的变化，带来的是方法的变化，必须要从计算入手：

 

原三角形的边长
缩小
扩大
扩大
扩大
先缩小 ，再扩大
先缩小 ，再扩大

 

计算后可以画出如下6种图形：

 

例31   原题1：如图，矩形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD的中点，求证：四边形EFGH是菱形。

原题2： 如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E、F分别是AD、BC上的点，四边形EBFD是菱形，求菱形的面积。

新题1：如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，从纸片上剪下一个菱形，使它的面积大于矩形的一半。

新题2： 如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6。（1）在图1中，E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD的中点，求菱形EFGH的面积；（2）在图2中画出一个比（1）中的菱形面积更大的菱形；（3）在图3中画出一个比（2）中的菱形面积更大的菱形，并计算所画菱形的面积。

解：（2）剪下一个正方形即可。（3）如原题2这样即可。

例32  原题： 如图甲，等腰直角三角形ABC中,AB=AC=

cm，P在BC上,以C为圆心、PC为半径画弧交边AC于D，以B为圆心、PB为半径画弧交边AB于E，设PB=xcm，图中阴影部分的面积为ycm（π取3）。（1）求y关于x的函数解析式；（2）写出自变量x的取值范围；（3）当P在什么位置时，y有最大值？最大值是多少？

新题： （4）如果我们取消D一定落在三角形边上的条件，也就是说D点可以落在CA的延长线上（如图乙），请问当x为何值时，两个阴影部分的面积相等？（保留两位小数）

例33   原题：将抛物线

向上平移几个单位,能使抛物线与坐标轴的三个交点构成直角三角形?

新题：将抛物线

向上平移几个单位,能使抛物线与坐标轴的三个交点构成直角三角形?

说明：原题的解答要用到抛物线与x轴交点的距离公式

，已经超出了目前的要求，而新题避免了这个问题。我们设抛物线

向上平移后为

，与y轴交于（0，c），与x轴交于（c，0），代入得

，解得

，常数项由-1变到

向上平移了

个单位。

例34   原题：如图，正方形ABCD和正三角形ADE，求∠EBC的度数。

 新题1、如图，等腰直角△ABC中，∠ACB=90度，∠1:∠2=2:1，∠4:∠3=2:1,∠5=∠3.求证：AD=AC.

 新题2、如上题图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D在△ABC内，且AD=AC，∠CAD=30°，则∠DBC的度数是          。

两道新题都采用了“擦图”的手段编题。做题时要“补图”。

例35   原题：如图，正方形ABCD中，E、F在AD、AB上，∠ECF=45°，求证：BF+DE=EF。

新题：如图，梯形ABCE中，AB=BC=12，F在AB上，EF=10，∠ECF=45°，  求BF的长。

编题的方法同例34一样，新题解的方法是设BF=x，则AF=12-x，AE=12-(10-x)=2+x，在△AEF中用勾股定理列方程即可。

10、有新的发现而编题

当你对一些数学问题有自己独特的见解时，你就有了编题的思路，也许一道好题就这样诞生了。

例36 大家一定见过这样的图形，三个等圆里面有一个小圆，我发现这四个圆是两两外切的。于是，就有下面这题：

已知有4个圆两两外切，其中3个圆的半径为6，（1）画出图形；（2）求第4个圆的半径。

例37 我在教三角形全等时，发现“边边角”有个有趣的现象：满足SSA的两个三角形如果不全等，那么这两个三角形的面积就相差一个等腰三角形的面积。

于是一道新题就诞生了：  已知

和

中，

=

=8cm，

=

=5cm，

=

=30°,如果

和

不全等，则它们的面积之差是            

．

解法是：先画出图形，将两个三角形叠放在一起，作高BD，则可以算出BD=4，CC’=6，所以面积相差4×6÷2=12.

例38 我在用“画图”软件三角形网格时，先画一个三角形，然后进行“复制–粘贴–平移”共5次，一个3×3的三角形网格就形成了。于是就有了下题：

如图是一个由基本图形经过若干次平移后得到的图形，这个基本图形可以是（  　）

答案是C，但很多人想不到啊。

例39  发现一道错题，也许就发现了一道好题。下面的题就是错题改编的：

对于任意正整数n，

一定可以被整数a整除，则a的值是（     ）    

 A、2        B、4        C、8        D、16   

这是一道有问题的单项选择题，在不改变代数式和选择支的前提下，请你修改本题，使其成为一道无误的单项选择题．

答案：将“a的值是”改为“a的最大值是”。

例40  常见这样的题，已知方程组

，求

的值。

我们常用“整体思想”来解，即  (1)-(2)，得4x+4y=4，所以x+y=1．

但是，若要求

的值，整体思想就不好用了，有什么方法还能继续运用整体思想呢？后来我发现了方法。于是一道自己非常满意的代数题诞生了：

有这样一个数学问题： 已知x、y满足

，求x+y的值．我们可以用整体思想来解决这道题，由(1)-(2)，得4x+4y=4，所以x+y=1．现在有一位同学想用同样的方法求5x-y的值，但他想不出上述两个方程如何运算的，请你写出获得运算过程的方法，帮助这位同学得到正确的解答．