五、数学思维的教学
基本立场：
一个特殊的背景
·数学方法论（数学思维方法）的研究；
·中学数学教学的相关实践：数学方法论指导下的数学教学
·当前应当注意的问题：防止简单移植。
[例十一] “除非它们都能站起来！”
·这是发生在20世纪60年代的一个真实故事：当时“新数运动”作为风靡全球的改革运动正处于高潮之中，其核心思想就是认为应当用现代数学思想对传统的数学教育作出改造，由于集合的概念在现代数学中占据了特别重要的位置，因此，下述情况的出现就无足为奇了。
·在幼儿园上学的女儿告诉数学家的父亲：“我们今天学了‘集合’！”
·父亲：“老师是怎么教的？”
·女儿：“女教师首先让班上所有的男孩子站起来，然后告诉大家这就是男孩子的集合；其次，她又让所有的女孩子站起来，并说这是女孩子的集合；接下来，又是白人孩子的集合，黑人孩子的集合，……最后，教师问全班：‘大家是否都懂了？’她得到了肯定的答复。”
·父：“那么，我们是否可以将世界上所有的匙子或土豆组成一个集合？”
·“不行！除非它们都能站起来！”
分析与思考
·有益的启示：应当针对小学数学的实际更为深入地开展研究，切实防止简单的移植（集合与分类；函数与变化；极限与无限等等。）
·又一关键性的问题：应当如何去进行数学思维的教学？
·问题的深化：如何进行渗透、如何用思维方法的分析带动、促进具体知识内容的教学？
[例十二] “重建”高斯
·少年时代的高斯是如何很快求得1+2+3+……+99=4950的？
类比与启示
·为了求解S=1+2+3+……+99=？我们也可首先去计算2S：
·2S= 1 +
·S=4950
结论之八
·用思维分析带动具体知识内容的教学的关键：方法论的重建，从而实现化神奇为平凡、化难为易。
·意义之一：使数学教学真正讲活、讲懂、讲深；
·意义之二：使数学思维真正成为可以理解的、可以学到手的、和可以加以推广应用的。
·“讲活”：教师应当通过自己的教学活动向学生展现“活生生的”数学研究工作，而不是死的数学知识；
·“讲懂”：教师应当帮助学生真正理解有关的教学内容，而不是囫囵吞枣，死记硬背；
·“讲深”：教师不仅应帮助学生掌握具体的数学知识，而且也应帮助学生深入领会并逐渐掌握内在的思维方法。
数学启发法的学习与掌握
·学会数学思维的又一重要内涵：数学启发法的学习与掌握。
·数学启发法核心：一些定型的问题和建议 。
[例十三] “幻方”
· 如何在九宫格中放上1、2、3、4、5、6、7、8、9这样九个数字，使得每一行、每一列、每条对角线上数字的和都相等？
·启发性的问题与建议
·相应的方法论原则：
·问题（2）：在所有九个方格中哪一个最重要？
·相应的方法论原则：
·问题（3）：再来考虑1应当放在哪里？
·相应的方法论原则：
问题(4):这时2有几种可能的位置?
问题(5):是否还有其它的解题方法？
·由于原来的问题要把1-9这几个数字分成这样的“三数组”，使其和都等于15，因此我们也可首先尝试着把所有这样的“三数组”都列举出来。
·相应的启发性原则：
·一些可能的组合：
（3、5、7）；（8、1、6）；（4、5、6）；（1、5、9）；（7、6、2）；（6、8、1）；（2、4、9）；……
·问题(6)：是否会出现重复与遗漏的情况？
·相应的启发性原则：
·各个可能的“三数组”：
（1、5、9）；（1、6、8）；（2、4、9）；（2、5、8）；（2、6、7）；（3、4、8）；（3、5、7）；（4、5、6）。
进一步的思考:两种方法的比较
·相应的启发性原则：
结束语：一个建议：
·努力加强数学思维（数学方法论）的学习。
·关键：不要求全，而要求用，也即应当密切联系自己的教学实践去进行学习，学以致用。
·长期的努力方向：理论指导指导下的自觉实践。
一个练习
·“红花映绿叶×春=叶绿映花红，要求想出‘红’、‘花’、‘映’、‘绿’、‘叶’分别代表什么数字？”
·请尝试着以数学启发法为指导去求解这一问题（相应的解答为：21978×4=87912）。
参考文献
[1] 郑毓信，“走进数学思维”，《小学教学》2008年第五期开始连载
[2] 郑毓信，《数学思维与小学数学》（郑毓信数学教育论丛之二），即将由江苏教育出版社出版
[3] 郑毓信，《开放的小学数学教学》（郑毓信数学教育论丛之一），即将由江苏教育出版社出版
[4] 郑毓信，《数学方法论入门》，浙江教育出版社
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