本文节选自图灵新知《怎样解题：数学竞赛攻关宝典》, [遇见]已获授权.
1.1 “练习”与“问题”
这是一本介绍解决数学问题方法的书，我们假定本书的读者为以下三类人：
喜欢数学；
已经很好地掌握了高中数学的内容，并且至少已经初步学习了高等数学的内容，如微积分和线性代数；
希望进一步提高解决数学问题的能力。
首先，什么是“问题”？我们需要将“练习”与“问题”区分清楚。“练习”是你理解且可以立即解决的问题，练习的解答是否正确取决于你对特定技巧掌握的熟练程度，但你却从不用去琢磨究竟应使用何种技巧。相反，“问题”是需要做深入思考和丰富资料收集才能找到正确方法的题目。例如，下面是一道练习。
例 1.1.1 请不使用计算器计算 。
毫无疑问，你知道如何计算——只要仔细地连乘两次就可以了。而下面这个问题则深奥得多。
例 1.1.2 将
表示成最简分数形式。
乍一看，这只不过又是一个毫无新意的练习题，因为你可能认为只要将所有的99项加起来就可以得到正确答案了。但是你稍微观察一下题目就会发现一个很有趣的现象，我们首先将前几项加总化简后发现：
因此，可以猜测：对于所有的正整数，
这样，就提出了一个“问题”：这个猜测是否正确？如果是，又该如何证明？
如果你曾经做过类似的问题，并会应用数学归纳法（参见第 43 页），那么这一题对于你来讲也仅仅是一个“练习”而已了。但如果我们从没见过这类题型，那么这一题对我们来说就是一个“问题”而不是“练习”了。我们可能就需要花大量的时间尝试不同的方法来解决该问题，问题越难，需要花的时间越多，第一次尝试通常会失败，而有时多次尝试都会失败。
下面这个例子是非常有名的“户口调查员问题”。少数人认为这是个“练习”，对于大多数人来说，这是个“问题”。
例 1.1.3 一个户口调查员敲开一户人家的门，并询问屋内的妇女有几个小孩，孩子们都多大了。
该妇女答道：“我有三个女儿，她们的年龄都是整数，并且她们年龄的乘积等于36。”
“这些信息还不够算出你女儿的年龄。”户口调查员回答道。
“我就是告诉你她们年龄的总和，你还是不能算出她们的年龄。”
“我希望你能告诉我更多的信息。”
“好吧，我大女儿安妮喜欢狗！”
请问：从这段对话中，户口调查员能计算出该妇女三个女儿的年龄吗？
初看这个题目，觉得要想得到答案似乎是不可能的，因为题目中好像没有提供足够的信息来解决问题。这就是为什么我们认为这是一个“问题”，但这个问题的确很有趣。（如果你仍旧比较迷惑，可以看本章结尾处第 11 页的答案。）
如果你认为户口调查员问题太简单，那么请看下一题（答案见文末）。
例 1.1.4 有一次，我请了10对夫妇来我家参加宴会，我问所有参加宴会的人（包括我妻子在内）他们和多少人握过手，结果得知每个人的握手次数都不相同，当然我没有问自己。假定没有人与自己的配偶握手，也不考虑每个人自己同自己握手，那么请问我妻子与多少人握过手？（我没有问自己任何问题。）
一个好的问题应该是神秘而有趣的。它之所以神秘是因为一开始你并不知道如何解决它，如果一个问题缺乏趣味性，你就不会愿意去思考，但如果问题非常有趣的话，你一定会愿意花费时间和精力去解决它。
这本书将有助于你去分析和解决问题！如果你缺乏解决问题的经验，那么碰到一个难题时，你会很快放弃努力，这是因为：
也许你根本就不知道该从何着手；
也许你已经做了些初步工作，但不知道该如何继续；
也许你试过一些方法但都失败了，于是你放弃了。
相反，一个有经验的解题者，则知道怎样入手，他或者她1会非常有信心地用各种方法来分析问题，虽然他使用的某些方法不一定能解决问题，但至少能得到一些结果。最终，在花费了一定的时间之后，他终于解决了问题。概括地说，一个有解决问题经验的人会从如下三个不同的层次考虑问题：
1后面的章节我们将避免使用“他或者她”，而是随机选择性别。
战略层次：掌握如何入手并分析问题的数学思想与心理策略；
战术层次：掌握解决问题的不同阶段所使用的数学方法；
工具层次：对特定的情形，注重特定的技巧和“窍门”。
1.2 解决问题的三个层次
很多数学分支都有悠久的历史，并形成了一套自己的数学符号和语言。但解决问题并没有固定的模式和套路。2在这里，我们使用战略、战术和工具这三个词来诠释解决问题的三个不同层次。这三个词并没有标准的定义，因此准确理解它们的含义就显得非常重要。
2事实上，解决问题的理论都没有统一标准的名称，乔治·波利亚和一些专家曾使用“探索法”这一术语（例如，见文献 [24]）。
登山的策略
当你站在山脚下观察如何登山时，第一步要考虑的战略就是先登上这座山旁边的几座小山，从不同的角度观察你所要爬的山。然后，你可能会考虑一个更具体的战略，或许可以尝试通过一个特定的山脊来登山。接下来就要考虑一些战术问题了，即怎样切实有效地执行战略。比如，你所选定的线路是从山的南面登山，但途中有一片雪地和一条河流，那么你就需要制定不同的战术来战胜这些阻碍。比如说越过雪地，你可以选择早晨雪地最硬的时候通过。而要渡河，则需要在河岸边观察最安全的渡河地点。最后，我们需要考虑与登山最直接相关的技术问题，即完成特定的任务所需要具备的特定技能——工具。比如，要想通过雪地，我们需要装备安全带和凿冰斧。要渡过河流则需要用绳子绑在你的腰上，再由同伴在河岸边拉着你，使你能在河水冲击下保持平衡，这些都是特定的工具技术。你不能因此总结说登山只需要安全带、凿冰斧，与同伴相互搀扶就可以了。虽然这些是必要的，但只是你登山的一小部分工作而已。相反，需要总结的是你的战略思想，有时也包括一些战术思想。例如你可以这样总结：我们决定从南面登山，途中需要越过一片很难通过的雪地和一条危险的河流才能到达山脊。
我们登山时遇到的阻碍，有一些比较容易解决，就像是你做练习题似的（当然，这也需要取决于登山者的能力和经验）。但是有些阻碍则很难解决，一旦解决则整个登山过程就非常顺利了。例如，所选择的登山路径大部分都比较容易攀登，但有一段大概 3 米长的路径则非常陡峭光滑很难通过。登山者通常把这种最关键的阻碍称为“关键点”。我们也可以把这个词用在解决数学问题上。在战略、战术、工具三个层次中都可能有关键点，有些问题有几个关键点，许多问题没有关键点。
从登山到数学
我们将解决数学问题的思想和登山的策略做个比较。拿到问题，你不一定能马上解决，要不然就不能称之为问题，而只是个练习题了。首先你要有一个对题目进行分析的过程，这种分析有很多方式。最糟糕的方式是随意地用你能想到的各种方法进行试验。如果你的想象力足够丰富且掌握的方法很多，通过花费大量时间，也许最终能解决问题。但作为一个初学者，最好还是要培养自己形成一套系统的解决问题的思维方法。首先要从战略上进行思考，不要想着马上就能解决问题，而是在一个不那么专注的层面上思考问题。从战略上思考的目的就是得到这样一个计划：它可能几乎没有数学内容，但能够帮助我们解题，这正如登山的战略：“如果我们到达了南坡，我们好像就能到达山顶。”
战略上的思考有助于我们开始解决问题并继续做下去，但这只是我们需要做的实际工作的提纲，具体的工作就是如何从战术和工具两个层次来完成既定战略。
我们通过下面的例子（1926 年匈牙利竞赛题）来说明如何从三个层次来解决问题。
例 1.2.1 证明四个连续的自然数的乘积不可能是整数的平方。
解答 首先让我们从战略上理解题目的意思，即如何着手。我们知道这是一道证明题。问题通常有两种类型——证明题和解答题。户口调查员问题（例 1.1.3）就是后一类解答题。
接下来，通过观察我们发现问题要求证明某一结果不会发生。我们将问题分成假设（也称为“条件”）和结论（无论是哪种类型的问题都可以这样分）。这个问题的条件是：
是一个自然数。
结论为：
不可能是某一整数的平方。
将问题的条件和结论明确地叙述出来是非常有必要的，因为在很多问题中，条件和结论并不是显而易见的。在这里我们将引进一些符号，有时对符号的选择非常关键。
也许你会将注意力集中在结论上：怎样才能够使某一个整数不是平方数？这是一种战略思考，即考虑马上能直接得到结论的前提条件，我们称之为倒推法。但你会发现，我们很难找到一个标准来表达某一个数不是一个平方数，所以我们需要考虑另一战略。对任何问题，入题最好的一种战略是化抽象为具体。解决问题最好的习惯就是把思考过程记在稿纸上。我们尝试着代入几个具体的数，也许可以从中发现某些规律。让我们给 设定几个不同的值，令
，见下表
的值。
1
2
3
4
5
10
24
120
360
840
1680
17 160
你注意到了什么？问题中提到平方数，所以我们观察表格中是否有平方数，我想大家都会发现表中
的前两个值都是某一整数的平方减 1，接着验算发现：
我们大胆地猜测：对任意自然数 ，
都为某一个整数的平方减 1。证明这一猜想就是我们所要寻找的倒数第二步。因为任何等于某一整数的平方减 1 的正整数不可能是另一整数的平方。既然 1, 4, 9, 16 等平方数中不包含连续整数（平方数与平方数之间的差值越来越大），因此我们新的战略就是证明这一猜想。
为实现这一战略，我们还需要从战术和工具层面考虑问题，我们希望能证明对所有的 ，
的乘积都是某一个整数的平方减 1，即
是某一个整数的平方。但用什么代数式表示这一平方数呢？这样，就需要从战术上考虑表达式的形式。我们要熟练掌握这种表达式，要时刻记住我们的目标是要得到一个平方数，注意到 和
的乘积与
和
的乘积几乎相等，其中前面两项的乘积为
。重新组织这个表达式，有：
我们不把括号中的两项相乘，而是将其凑成平方差公式：
现在我们使用平方差公式工具得到：
这样对于所有的 ，将
表达为某一整数的平方减 1 的形式，即：
这样我们就完成了证明。■
我们再回过头从解决问题的三个层次来分析这个问题，开始的战略是定位，仔细阅读问题并确定该问题属于哪一类型，然后利用倒推法分析答案的倒数第二步以决定解题的战略，开始，我们并没有成功。接着我们是通过代入数值进行验算然后对结果进行猜测的。但要想证明这一猜测还需要一些战术和工具，如交换连乘项的次序、凑成平方差公式等。
解决问题最重要的是战略层次的思考，在这一题中提出上述猜测是解题的关键。从这点而言“问题”就已经转化为“练习”了！但熟练地使用战术也是很重要的，否则你仍旧很难解决问题。该题的另一解法为替代法：在式 (1.2.1) 中令
，则上式的右边变成
。第三种解法是全部乘出来，有：
如果该式是某一整数的平方，则一定是二次多项式
或
的平方，将第一个多项式代入，有：
可得
满足该式。因此
。该方法虽然没有第一种方法优雅，但仍是个很不错的方法，因为该方法使用了一个非常有用的数学工具——待定系数法。
附: 户口调查员问题的解决方法
从她们年龄的乘积等于 36 可知，她们的年龄组合仅仅有几种可能性，下表是她们所有可能的年龄组合，其中表的第二行是三个人年龄的总和。
(1,1,36)
(1,2,18)
(1,3,12)
(1,4,9)
(1,6,6)
(2,2,9)
(2,3,6)
(3,3,4)
38
21
16
14
13
13
11
10
接下来我们再看看题目，这位母亲的第二句话（“我就是告诉你她们年龄的总和，你还是不能算出她们的年龄”）已经给出了非常有用的信息。这实际上告诉了我们，她们的年龄只可能是 (1,6,6) 或 (2,2,9)，因为只有这两组才会使别人无法知道她们的年龄。这位母亲说的最后一句话也是有用的，通过这句话我们可知她有一个最大的女儿，因此就可以去掉(1,6,6)这一组，所以她的三个女儿分别为 2 岁、2 岁和 9 岁。■
本书将数学的统一性贯穿始终，将理论方法与经典例题相结合，以战略、战术及工具为主线，把解题提高到了艺术高度。首先教总结解决问题的方法论，这也是全书的核心内容，进而通过实例阐述了具体的解题战术，如极端原理、抽屉原理等。并从解题者的角度分别讲述了代数学、组合数学、数论、几何和微积分。
