经典算法题每日演练——第十七题 Dijkstra算法

或许在生活中，经常会碰到针对某一个问题，在众多的限制条件下，如何去寻找一个最优解？可能大家想到了很多诸如“线性规划”，“动态规划”

这些经典策略，当然有的问题我们可以用贪心来寻求整体最优解，在图论中一个典型的贪心法求最优解的例子就莫过于“最短路径”的问题。

一：概序

从下图中我要寻找V₀到V₃的最短路径，你会发现通往他们的两点路径有很多：V₀->V₄->V₃，V₀->V₁->V_3，当然你会认为前者是你要找的最短

路径，那如果说图的顶点非常多，你还会这么轻易的找到吗？下面我们就要将刚才我们那点贪心的思维系统的整理下。

二：构建

如果大家已经了解Prim算法，那么Dijkstra算法只是在它的上面延伸了下，其实也是很简单的。

1.边节点

这里有点不一样的地方就是我在边上面定义一个vertexs来记录贪心搜索到某一个节点时曾经走过的节点，比如从V₀贪心搜索到V₃时，我们V₃

的vertexs可能存放着V₀,V₄,V₃这些曾今走过的节点，或许最后这三个节点就是我们要寻找的最短路径。

 1 #region 边的信息 2         /// <summary> 3         /// 边的信息 4         /// </summary> 5         public class Edge 6         { 7             //开始边 8             public int startEdge; 9 10             //结束边11             public int endEdge;12 13             //权重14             public int weight;15 16             //是否使用17             public bool isUse;18 19             //累计顶点20             public HashSet<int> vertexs = new HashSet<int>();21         }22         #endregion

2.Dijkstra算法

首先我们分析下Dijkstra算法的步骤：

有集合M={V0,V1,V2,V3,V4}这样5个元素，我们用

TempVertex表示该顶点是否使用。

Weight表示该Path的权重(默认都为MaxValue)。

Path表示该顶点的总权重。

①. 从集合M中挑选顶点V0为起始点。给V0的所有邻接点赋值，要赋值的前提是要赋值的weight要小于原始的weight，并且排除已经访问过

的顶点，然后挑选当前最小的weight作为下一次贪心搜索的起点，就这样V0V1为挑选为最短路径，如图2。

②. 我们继续从V1这个顶点开始给邻接点以同样的方式赋值，最后我们发现V0V4为最短路径。也就是图3。

。。。

③. 最后所有顶点的最短路径就这样求出来了 。

 1 #region Dijkstra算法 2         /// <summary> 3         /// Dijkstra算法 4         /// </summary> 5         public Dictionary<int, Edge> Dijkstra() 6         { 7             //收集顶点的相邻边 8             Dictionary<int, Edge> dic_edges = new Dictionary<int, Edge>(); 9 10             //weight=MaxValue:标识没有边11             for (int i = 0; i < graph.vertexsNum; i++)12             {13                 //起始边14                 var startEdge = i;15 16                 dic_edges.Add(startEdge, new Edge() { weight = int.MaxValue });17             }18 19             //取第一个顶点20             var start = 0;21 22             for (int i = 0; i < graph.vertexsNum; i++)23             {24                 //标记该顶点已经使用过25                 dic_edges[start].isUse = true;26 27                 for (int j = 1; j < graph.vertexsNum; j++)28                 {29                     var end = j;30 31                     //取到相邻边的权重32                     var weight = graph.edges[start, end];33 34                     //赋较小的权重35                     if (weight < dic_edges[end].weight)36                     {37                         //与上一个顶点的权值累加38                         var totalweight = dic_edges[start].weight == int.MaxValue ? weight : dic_edges[start].weight + weight;39 40                         if (totalweight < dic_edges[end].weight)41                         {42                             //将该顶点的相邻边加入到集合中43                             dic_edges[end] = new Edge()44                             {45                                 startEdge = start,46                                 endEdge = end,47                                 weight = totalweight48                             };49 50                             //将上一个边的节点的vertex累加51                             dic_edges[end].vertexs = new HashSet<int>(dic_edges[start].vertexs);52 53                             dic_edges[end].vertexs.Add(start);54                             dic_edges[end].vertexs.Add(end);55                         }56                     }57                 }58 59                 var min = int.MaxValue;60 61                 //下一个进行比较的顶点62                 int minkey = 0;63 64                 //取start邻接边中的最小值65                 foreach (var key in dic_edges.Keys)66                 {67                     //取当前 最小的 key(使用过的除外)68                     if (min > dic_edges[key].weight && !dic_edges[key].isUse)69                     {70                         min = dic_edges[key].weight;71                         minkey = key;72                     }73                 }74 75                 //从邻接边的顶点再开始找76                 start = minkey;77             }78 79             return dic_edges;80         }81         #endregion

总的代码：复杂度很烂O(N²)。。。

+ View Code?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211

using System; using System.Collections.Generic; using System.Linq; using System.Text; using System.Diagnostics; using System.Threading; using System.IO; using System.Threading.Tasks; namespace ConsoleApplication2 { public class Program { public static void Main() { Dictionary<int, string> dic = new Dictionary<int, string>(); MatrixGraph graph = new MatrixGraph(); graph.Build(); var result = graph.Dijkstra(); Console.WriteLine("各节点的最短路径为:"); foreach (var key in result.Keys) { Console.WriteLine("{0}", string.Join("->", result[key].vertexs)); } Console.Read(); } } #region 定义矩阵节点 /// <summary> /// 定义矩阵节点 /// </summary> public class MatrixGraph { Graph graph = new Graph(); public class Graph { /// <summary> /// 顶点信息 /// </summary> public int[] vertexs; /// <summary> /// 边的条数 /// </summary> public int[,] edges; /// <summary> /// 顶点个数 /// </summary> public int vertexsNum; /// <summary> /// 边的个数 /// </summary> public int edgesNum; } #region 矩阵的构建 /// <summary> /// 矩阵的构建 /// </summary> public void Build() { //顶点数 graph.vertexsNum = 5; //边数 graph.edgesNum = 6; graph.vertexs = new int[graph.vertexsNum]; graph.edges = new int[graph.vertexsNum, graph.vertexsNum]; //构建二维数组 for (int i = 0; i < graph.vertexsNum; i++) { //顶点 graph.vertexs[i] = i; for (int j = 0; j < graph.vertexsNum; j++) { graph.edges[i, j] = int.MaxValue; } } //定义 6 条边 graph.edges[0, 1] = graph.edges[1, 0] = 2; graph.edges[0, 2] = graph.edges[2, 0] = 5; graph.edges[0, 4] = graph.edges[4, 0] = 3; graph.edges[1, 3] = graph.edges[3, 1] = 4; graph.edges[2, 4] = graph.edges[4, 2] = 5; graph.edges[3, 4] = graph.edges[4, 3] = 2; } #endregion #region 边的信息 /// <summary> /// 边的信息 /// </summary> public class Edge { //开始边 public int startEdge; //结束边 public int endEdge; //权重 public int weight; //是否使用 public bool isUse; //累计顶点 public HashSet<int> vertexs = new HashSet<int>(); } #endregion #region Dijkstra算法 /// <summary> /// Dijkstra算法 /// </summary> public Dictionary<int, Edge> Dijkstra() { //收集顶点的相邻边 Dictionary<int, Edge> dic_edges = new Dictionary<int, Edge>(); //weight=MaxValue:标识没有边 for (int i = 0; i < graph.vertexsNum; i++) { //起始边 var startEdge = i; dic_edges.Add(startEdge, new Edge() { weight = int.MaxValue }); } //取第一个顶点 var start = 0; for (int i = 0; i < graph.vertexsNum; i++) { //标记该顶点已经使用过 dic_edges[start].isUse = true; for (int j = 1; j < graph.vertexsNum; j++) { var end = j; //取到相邻边的权重 var weight = graph.edges[start, end]; //赋较小的权重 if (weight < dic_edges[end].weight) { //与上一个顶点的权值累加 var totalweight = dic_edges[start].weight == int.MaxValue ? weight : dic_edges[start].weight + weight; if (totalweight < dic_edges[end].weight) { //将该顶点的相邻边加入到集合中 dic_edges[end] = new Edge() { startEdge = start, endEdge = end, weight = totalweight }; //将上一个边的节点的vertex累加 dic_edges[end].vertexs = new HashSet<int>(dic_edges[start].vertexs); dic_edges[end].vertexs.Add(start); dic_edges[end].vertexs.Add(end); } } } var min = int.MaxValue; //下一个进行比较的顶点 int minkey = 0; //取start邻接边中的最小值 foreach (var key in dic_edges.Keys) { //取当前 最小的 key(使用过的除外) if (min > dic_edges[key].weight && !dic_edges[key].isUse) { min = dic_edges[key].weight; minkey = key; } } //从邻接边的顶点再开始找 start = minkey; } return dic_edges; } #endregion } #endregion }