完备性：中的柯西序列收敛。
列紧性：对于集合，若内的任意序列有收敛的子序列，则称有列紧性或称是列紧的。
紧性：对于集合，若的任意开覆盖可选出有限覆盖，则称有紧性或称是紧的。
描述实数完备性的定理:
1.柯西原理(波尔查诺-柯西)：
中的柯西序列收敛。
证明：用区间套定理证明。
设为R中的柯西序列。那么存在正整数，使得当时，，即；对于正整数k>1，存在正整数，使得当时，，即。
构造区间套，其中；对于正整数k>1，。
易知。又易知，。所以由区间套定理知，该区间套有且仅有一个公共点，设为。
下面证明序列收敛于c。
易知对于任意正数，存在正整数K，使得。由上述区间套的定义知,对于任意,。又，故。所以收敛于c。
2.确界原理:
R的有界子集存在确界。
证明:用柯西原理证明。
仅需证明有上界的集合存在上确界，下确界存在性的证明是类似的。
设集合A上有界，集合为A上界集为X。
（1）若A有最大值，则最大值即为上确界。
（2）若A无最大值。
首先，证明集合A中的元素和集合X元素的差可以任意小。反证法：设。假设存在实数，使得对于成立。那么，则不是A的上界，。假设对正整数k,有，那么同理。由归纳原理，对任意自然数n有。那么由阿基米德原理知A无上界，与A上有界的条件矛盾。因此对于任意正数δ，存在，使得。
构造柯西序列。取且满足。对正整数k>1，取且满足。
对此处选区方法做一个详细解释。设集合。由于A没有最大值，Ak非空且。显然Ak上有界且其上界集也是X。那么存在,,使得。这里由于，；由于，。若，令；否则令。这样。
那么对于任意正数，取,那么对，。所以是柯西序列。根据柯西原理，收敛，设。构造的子序列和，定义为，。易知由的奇数下标项组成，对所有正整数n成立；由的偶数下标项组成，对所有正整数n成立。故。
下面证明是A的上确界。
易知且严格单调递增，故。设存在和非负数,使得。存在正整数N,使得，由于是A的一个上界且A无最大值，不可能成立。所以， 是 A的上界。对于任意正数，存在存在正整数N，使得，所以任意小于的实数不是A的上界。综上，是集合A的上确界。
3.单调收敛定理:
R中的单调有界序列必收敛。
证明:用确界原理证明。
仅对单调递增的序列证明，单调递减序列的证明是类似的。
设是单调递增的序列且上有界。由确界原理知由上确界，设。
下面证明收敛于。
对任意正数，不是的上界。所以存在正整数N，使得。对n>N, ,由极限定义知收敛于。
4.区间套定理(柯西-康托尔):
R中长度趋于0的区间套有且只有一个公共点。
证明:用单调收敛定理证明。
设，。易知单调递增且上有界，单调递减且下有界。所以和收敛。设。。所以和收敛于同一数，设。
下面证明是所有区间的唯一公共点，即。
由单调收敛定理知，所以，即。对于任意正实数，存在正整数N,使得，所以任意不等于的实数都不包含在中。所以是区间套的唯一公共点。
（或:用聚点定理证明。区间套的端点集合是有界的，用聚点定理可知其聚点存在。证明区间的每个大于等于某个左端点的数或每个小于等于某个右端点的数不是聚点都不是聚点，那么聚点只能是在所有区间内部的点。）
（或:用列紧定理证明。用区间左右端点分别构造一个序列。它们是有界的，存在收敛的子序列，根据这两个序列的单调性得出原序列也是收敛的，它们收敛于同一个数，这个数就是区间套的公共点。）
描述实数列紧性的定理:
1.列紧定理(波尔查诺-魏尔斯特拉斯):
R的无穷有界子集是列紧的。
证明:用区间套定理证明。
取一个R的无穷有界集合S，在构造包含于它的序列,设的象集为。
(1)X是有限集。
假设X中的每个元素都只有有限个下标与之对应，那么由于X的元素个数
有限，下标个数就也是有限的。但是下标数是自然数的个数，应该是无限的，矛盾。所以必存在X的某个元素c对应于无穷多个下标。把这些下标取出便得到了一个值为x的常序列，显然它是收敛于c的。
(2)X是无限集。
集合X是有界的，设X包含在区间[a,b]中。构造区间套。设。对正整数k>1,若已定义且包含无穷多集合X的点，那么和至少有一个包含了无穷多集合X的点。那么可以定义如下：若包含了无穷多集合X的点，那么令；否则。这样也包含了无穷多集合X的点。由归纳原理知区间套是可定义的，且每个区间中都包含了无穷多集合X的点。
区间套的长度为，易知。那么由区间套定理知，存在实数，满足。
下面构造一个X中的序列，该序列收敛于。
定义如下：对每个，任取。因为，。因为，所以对于任意正数，存在正整数N，使得n>N时，。那么根据极限的定义，收敛于。
（或:用致密性定理:元素个数无限时，选出元素互不相同的序列，再选出收敛子列，显然该子列就是集合的收敛的序列）
（或:用聚点定理证明。元素个数无限时，用聚点定理得到聚点的存在性，再构造一个收敛于聚点的序列）
（或:用单调收敛定理证明。选出单调子列，马里兰大学Fitzpatrick所著《高等微积分》的证法）
2.聚点定理(波尔查诺-魏尔斯特拉斯):
R的有界无限子集存在聚点(极限点)。
证明:用列紧定理证明。
从集合中选出一个元素互不相同的序列(因为是无限集，所以可以做到)，由列紧定理得到一个收敛的子序列，显然此序列的极限是集合的聚点。
（或：用有限覆盖定理证明。假设不存在聚点，那么每个点都是孤立点，那么集合是闭集，有限覆盖定理成立。每个孤立点都存在一个不包含任何其他点的邻域，这些邻域的集合是一个开覆盖，而这个开覆盖显然不存在有限覆盖，因为点和邻域是一对一的。那么这与有限覆盖定理矛盾，所以聚点必然存在。）
3.致密性定理(波尔查诺-魏尔斯特拉斯):
R的有界序列存在收敛的子序列。
证明：用聚点定理。
设是R的有界序列。设的象集是X。
(1) X是有限集。
显然此时存在一个数a对应了无穷个下标，取出这些下标便得到一个收敛到a的常序列。
(2) X是无限集。
因为是R的有界序列，集X显然是有界的。所以由聚点定理知，集X存在聚点，设集X的一个聚点为x。根据聚点的定义，存在正整数，使得；对于正整数k>1，存在正整数，使得(注:对上述存在的必然性的说明。若上述要求的不存在，那么点x的邻域中包含的X中的点的数目便不超过，是有限的；但是聚点的概念蕴涵该邻域必然包含无穷多X中的点，矛盾。)这样，根据归纳原理，便构造出了的一个子序列。
下面证明收敛于x。
对于任意正数，取正整数。当n>N, 。即。所以收敛于x。
描述实数紧性的定理:
有限覆盖定理(博雷尔-勒贝格):
R中的有界闭集是紧的。
证明:用致密性定理证明。
设集合X是有界闭集。根据林德勒夫覆盖定理(见Apostol的《数学分析》)，任何X的无限开覆盖可选出一个可数的开覆盖，设。
假设不能选出有限覆盖，可以选出不被覆盖的点；那么任意正整数k>1，存在不被覆盖的点且满足(这里可以选出这样的。假设不存在这样的，那么不被覆盖的点的数目只有不超过k-1个，那么便可选出有限覆盖，与假设矛盾)。那么便构造出了集X的序列，其中下标n表示不被覆盖，并且序列的元素互异。
因为集合X有界，所以集合有界。根据致密性定理，存在收敛的子序列，设收敛到点x。那么由于序列元素互异，点x是集合X的聚点。因为集合X是闭集，所以。那么由于易知存在正整数N，使得。因为中的集合是开集，中的每个集合都是中部分元素并集，所以是开集。所以存在正数，使得。由极限的定义，存在正整数K，使得且。因为，所以。但是因为，所以。又由序列的定义知，所以又有，矛盾。所以必能选出有限覆盖。
以上各定理关系如图：
列紧↔有界
列紧闭集↔有界闭集↔紧集
附注：关于有理数集与实数集的差别
有理数集和实数集都是代数域，都是有序的，都是有度量的。
实数集实际上是在有理数集的基础上增加了一些“点”，这些“点”填充了有理数集的“空隙”。
有理数集的“空隙”体现在有理数集的：
(1)柯西序列不一定收敛
(2)有界子集不一定有确界
(3)单调有界序列不一定收敛
(4)长度趋于零区间套可能没有公共点
(5)有界子集不一定能选出收敛的序列
(6)有界无限子集不一定存在聚点
(7)某些开覆盖不能选出有限覆盖
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