【高考数学】解题能力提升, 每日一题: 第324题

已知函数f（x）=lnx﹣a（a∈R）与函数F(x)=x+2/x有公共切线．

（Ⅰ）求a的取值范围；

（Ⅱ）若不等式xf（x）+e＞2﹣a对于x＞0的一切值恒成立，求a的取值范围．

考点分析：

利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

函数的最值

1、在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．

2、若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．

在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.

f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为增函数．

f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上为减函数．

题干分析：

（Ⅰ）f’(x)=1/x，F’(x)=1-2/x2．由函数f（x）与F（x）有公共切线，知函数f（x）与F（x）的图象相切或无交点．由此能求出a的取值范围．

（Ⅱ）等价于xlnx+a+e﹣2﹣ax≥0在x∈（0，+∞）上恒成立，令g（x）=xlnx+a+e﹣2﹣ax，g'（x）=lnx+1﹣a，令g'（x）=0，得x=ea/e，从而求出g（x）的最小值，令t(x)=x+e-2-ex/e，由t’(x)=1-2-ex/e=0=0，得x=1，由此能求出a的取值范围．