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数学
回归本质激发内动力提高教与学的效率
──《2019陕西省初中毕业学业考试说明》解读及命题趋势分析
陕西省教育科学研究院马熙莹
问题思考：
思考一：复习的目的及定位。
思考二：初中段数学课程评价及测量的核心。
思考三：科学规划复习方略。
◇《2019陕西省初中毕业学业考试说明》解读
关键词：认识定位（指南针）。
I命题依据
1.依据《义务教育数学课程标准（2011年版）》。
2.严格遵循《陕西省初中毕业学业考试说明》。
3.参照各版本教材、关注学生认知水平和教学实际。
II考试范围
数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践。
III考试形式与试题结构
一、考试形式和时间
1.全身统一命题，采用闭卷、笔试形式。
2.考试时间120分钟，全卷总分120分。
二、试题结构
·18年数学试题与17年比较
1.填空题中取消选做题。
2.优化试卷结构、内容结构，整体降低难度、弱化区分度、增强信度和效度。
【专家解读】整体降低难度，降低入门题难度，让容易题更容易，提高落点，让难题的思维性、灵活性有一定的高度，从而弱化区分度、增强信度和效度。
3.关注课题学习、问题探究，思考其在考查学生发现问题与解决问题能力方面蕴含的契机和内涵。
·19年数学试题的大结构与18年相同
IV考试要求及内容要求
一、考试要求
1.评价的基本理念：综合评价、激励学习和教学。
2.命题的基本要求：客观、公平、公正、全面评价学生数学学习情况。
3.测试的基本要求：
注：体现时代精神、贴近学生实际，避免偏、繁、难、怪及死记硬背题。
二、考试内容的目标要求（关键词：核心素养）
1.初中数学10个核心概念与高中数学6大核心素养
2.具体内容
（1）高中数学6大核心素养
名称
内容描述
数学抽象
舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程
逻辑推理
从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的思维过程
数学建模
对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识和方法构建模型解决问题的过程
直观想象
借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程
数学运算
在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的能力
数据分析
针对研究对象获取相关数据，运用统计方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的过程
（2）初中数学10个核心概念（部分核心概念略）
◇品味试题分析命题趋势
I调整视角
明确考试评价的变与不变。
从变与不变中感受数学本质与课程核心内容。
II数学试题特征剖析（具体中考题略）
审视视角一：“四基”的考查（2018年1、2、3、4、5、6、15、16题）
审视视角二：数学思想方法的考查（2018年7、8、10、19、22题）
审视视角三：数学能力的考查（2018年17、24、25题）
III把握命题趋势
IV科学规划复习攻略
建议一：对学生分类制定复课计划。
建议二：每节课的设计应该有主题，有针对各类学生的典例，即基础性的、较综合的、综合的，内在的思辨性一脉相承，思维顺势而上。
建议三：设计：1.教师科学规划；2.设计主题；3.设计问题；4.精选适恰题例。实施：1.课内外呼应、精华放在课内、差异化查漏补缺放在课外；2.学生独立思考为主，在此基础上，交流、优化。
V专题复习
一、面积专题
1.两直线平行，三角形的一条边在一条直线上，顶点在另一条平行线上，利用同底等高（或等底等高）得到两个三角形的面积相等；
2.两直线平行，一条直线不动，另一条直线变成倾斜线，顶点在倾斜直线上滑动，三角形面积与高成一次函数关系；
3.与反比例函数相关的面积；
4.把三角形放在平面直角坐标系内：
（1）三角形一边在坐标轴上；
（2）三角形一边与坐标轴平行；
（3）三角形三边与坐标轴都不平行，割补法等进行转化。
二、圆与点的专题
研究圆内的点、非圆心的圆内点、圆外的点。
三、函数专题
纵向：一次函数、反比例函数、二次函数上的点和实数对对应、图象和表达式对应。（描点画线、函数方程的思想、待定系数法、通过图象读性质）
横向：（1）一元一次方程、一元一次不等式与一元一次函数；（2）一元二次方程与二次函数；（3）二元一次方程（组）和一次函数。
VI关注非智力因素的影响力
1.引导学生明确考试评价与数学学习和复习的统一性。
2.引导学生了解自己明确与不明确的界限，做到心中有数。
3.对于查漏补缺，做到有目标、有途径、有方式、有方法。
复习定位：明确复习不是重复学习，而是更高层次的再认知过程；是“四基”融会贯通的过程；
是思想方法和能力螺旋上升的过程；
是数学品质和素养获得更快提升的过程。
让学生以积极、乐观、进取的学习态度，通过复习这一重要而特殊的学习过程，夯实基础、提升数学思想方法和能力水平，养育提升学生的数学素养，通过复习过程成为更好的自己，并获得不断成为更好的自己的能力。为后续学习做好全面储备。
思行合一知深远 追根溯源见成效
——“数与代教”试题分析及备考指导
高新第一中学初中校区 王晓红
◇从课标和说明中看中考
1.考试评价的基本理念
《课标》要求，初中毕业数学学业考试主要是为了全面了解学生在初中阶段数学学习的过程中，对知识技能、数学思考、问题解决、情感态度等方面的学段目标的达成情况进行综合评价。考试着重考查学生对初中数学内容本质的感悟、理解、掌握和应用；考查学生获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验；考查学生能够运用所学的知识、领会的思想方法，能发现和提出问题、会分析问题和解决与初中数学相关的问题：关注学生通过对初中数学的学习，其数学抽象、直观想象、数学运算、数学推理、数学建模及数据处理等素养的形成情况。
2.数与代数部分主要包含内容
3.数与代数部分在中考题中的分布及分值
题型
选择题
填空题
解答题
合计
个数
5
2
4
11
所占分值
15分
6分
27分
48分
4.数与代数部分在中考试题中的分布及核心考查内容
题型
题号
核心考查内容
分值
选择题
1
数的几个概念或有理数的简单计算
3
4（或5）
整式的运算（幂的运算）
3
5（或6）
正比例函数的图像和性质
3
7（或8）
一次的函数的图像和性质
3
10
二次的函数的图像和性质
3
填空题
11
数（运集、比大小等）或式（因式分解、化简等）
3
13
反比例函数的图像和性质
3
解答题
15
实数的运算或分式化简（求值）
5
16
分式化简（求值）或解分式方程或不等式组
5
21
一次函数的应用
7
24
二次函数与几何图形综合
10
◇从中考试题中看方向
1.“数”真题——归纳发现（真题：2015-2018年第1、11、15题，略）
（1）数的概念：倒数、相反数、绝对值、平方根、算术平方根、立方根、正负数的意义。
【思考】“数的概念”为什么这么考？还可能考查什么？无理数？科学记数法？
（2）实数比较大小（估算）。
（3）数运算：有理数的简单计算和实数的运算，乘方运算（包括零指数、负整数指数）、绝对值化简、二次根式的运算。
☆“学生答卷”真实再现
2.“式”真题——归纳发现（真题：2015-2016年第3题，2017-2018年第5题，略）
（1）整式的运算：幂的运算、整式的加减、整式的乘除运算、乘法公式。
（2）分式的运算：化简（求值）。
3.“方程与不等式（组）”真题——归纳发现（真题：2015-2018年第16题，略）
（1）方程和方程组：解分式方程。
（2）不等式与不等式组：近四年几乎没单独考（除16年11题）。
“方程与不等式（组）”真题——追根溯源
☆“学生答卷”真实再现
针对第1、5、11、15、16题的备考指导
·全面、细致、系统性
·基础知识、基本技能、基本思想方法
·培养学生的数学运算能力
·充分发挥错题的教学功能
·出错—纠错—复习的有效性
4.“正比例函数”真题——归纳发现（真题：2015-2016年第5题，2017年第3题，2018年第4题，略）
主要考查图像上（一条直线）点的特征，重视“数”的运算。
5.“一次函数”真题——归纳发现（真题：2015年第8题，2016-2018年第7题，略）
主要考查两条直线的位置关系，重视“形”的变换。
6.“一次函数应用”真题——归纳发现（真题：2015-2018年第21题，略）
主要考查利用一次函数模型解决实际问题的能力，求函数关系式是关键。
【思考】2019年一次函数的应用还会怎么考？两个一次函数图象？
7.“反比例函数”真题——归纳发现（真题：2015-2018年第13题，略）
主要考查反比例函数的图像上点的特征及|k|的几何意义（一次函数或几何图形结合）。
☆“教与学”中的启示
◇ |k|的几何意义（视频演示略）
◇ 要选“题型小、方法巧、运用活、覆盖宽”的题目
8.“二次函数”真题——归纳发现（真题：2015-2018年第10题，略）
主要考查二次函数与顶点有关的综合性问题和函数图像与坐标轴交点问题。
☆“教与学”中的启示
9.“二次函数综合”真题——归纳发现（真题：2015-2018年第24题,略）
（1）主要考查两条抛物线和几何图形的综合题；
（2）两条抛物线均是由图形变换得到的（平移、对称）；
（3）涉及到的几何图形不是大小（面积）就是形状。
☆“教与学”中的启示
◇ 二次函数专题
·确定二次函数解析式
·二次函数与图形变换
·二次函数与图形面积
·二次函数与直角三角形
·二次函数与等腰三角形
·二次函数与特殊四边形
·二次函数与相似三角形
◇ 以一道题几乎承载了二次函数与图形面积的所有问题，从知点求面积到知面积求点；从“正”三角形到“斜”三角形；从双轨平行线到等积变形；从定点到动点；从面积定值到面积最大值；从一条抛物线到两条抛物线，层层递进，螺旋上升。
一题多变——一题多解——多题一解——自编自解，这不是简单的一节数学课，更不是简单的解一道数学题，简直就是一场数学饕餮盛宴！整节课学生都处在紧张、兴奋、激烈的思辨中，享受课整，享受发现和提出问题、分析和解决问题的过程，享受成果后的喜悦……
【思考】2008-2013年考查一条抛物线与几何图形的关系，2014-2018年考查两条抛物线与几何图形的关系，那2019年会怎么考？仍考两条抛物线？抛物线与一次函数结合？
归纳与反思
一张中考试题不仅承载了初中学业水平测试和高中选拔考试的双重功能；而且还关注了学生通过初中阶段的学习能否用所学的基础知识、基本技能、基本思想方法和基本活动经验去发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力；关注学生通过初中阶段的学习，其数学抽象、直观想象、数学运算、数学推理、数学建模、数据处理的六大核心素养的形成情况；更重要的是对老师的教学起了引领和导向作用，要求我们在平时的教学中不仅教会知识，更重要的是培养学生的能力和创新意识，不仅是分析问题和解决问题的能力，更重要的是发现问题和提出问题的能力，教会学生用数学的眼光观察世界、用数学的思维分析世界、用数学的语言表达世界，对教师的成长和学生的终身发展具有指导意义。
◇从中考方向看备考
1.教师应做好的三个“转变”
首先，面对考前复习内容“点多、线长、面广、量大”的特点，我们老师首先做好三个转变：
（1）从猜题押宝到强化基础的转变；
（2）从应试训练到构建能力的转变；
（3）从题海战术到回归课本的转变.
其次，课堂教学是提高复习效率的主阵地，唯有回归课堂的教学才能让“减负增效”落到实处。
2.宏观把控，整体规划
第一轮：全面覆盖，夯实基础
【核心】关注知识的系统性、全面性、基础性
【方法】揭示错因——找到本质——追根溯源——复习有效
第二轮：专题训练，提升能力
【核心】提高针对性注重综合性
【方法】理清思路——总结方法——变式训练——触类旁通
第三轮：全真模拟，积累经验
【核心】把好适切性
【方法】实战演练——积累经验——壮大心理
3.对课堂教学的几点建议
（1）让大容量，快节奏，奔跑式的课堂慢下来。
【现象】课堂猛灌猛填，课后猛练猛学。
【原因】老师求新求难心理重，容量偏大，要求偏高，弱化有效的双基训练，双基不到位，概念模糊，冷饭重炒。
【反思】教与不教有什么区别？学与不学有什么区别？这样教和那样教有什么区别？
唯有慢，才能让操作过程步步留痕；
唯有慢，才能让猜想验证踏踏实实；
唯有慢，才能让现实问题合理演绎；
唯有慢，才能让学生积淀活动经验；
唯有慢，才能让学生体验活动感悟。
慢是为了不再重复，是为生成快的效果；只有慢下来，才能快起来，“磨刀不误砍柴工”。
（2）课堂不是教师表演的舞台，应是展现学生智慧的平台。
【建议】课堂中教师不做“话语霸权者”，不轻易发出“权威的声音”，不同化学生思维，应鼓励多元化和发散思维，寻求“不同的声音”。退教还学，防止模式与技巧的过度训练。今天称霸的老师，明天学生依赖你，依赖社会。
（3）课堂呼唤“四归还”。
①尽量把课堂的时间空间还给学生
课堂的核心是学生，教师是学生学习的教练，让学生去体验、去发现、去探索、去争论、去总结，在学习体验中提升与发展。教之道在于度，学之道在于悟一“记中学”转向“做中学”，“悟中学”，学生的“悟”重于教师的教。
②把课堂质疑问难的权利还给学生
没有认知冲突，思维没有负荷的课不是好课，设置认知冲突，激励、推动学生质疑问难
③把探究性学习权利还给学生
选择好的素材激发学生微探究，用探究激发灵感，催生灵性，提升综合能力。
④让板书回归课堂，发挥传统教学的经典优势
摒弃复习课电脑开启，黑板放弃，慎用多媒体。
立足学科本质 关注学生发展
──图形与几何试题分析及备考指导
西安铁一中陶军
课标指出：数学是研究数量关系和空间形式的科学。
1.图形的性质内容包括：
①点、线、面、角；②相交线与平行线；③三角形；④四边形；⑤圆；⑥尺规作图；⑦定义、命题、定理。
2. 图形的变化内容包括：
①图形的轴对称（折叠）；②图形的旋转；③图形的平移；④图形的相似（全等）；⑤图形的投影。
3. 图形与坐标内容包括：
①坐标与图形位置；②坐标与图形运动。
探索并掌握相交线、平行线、三角形、四边形和圆的基本性质与判定，掌握基本的证明方法和基本的作图技能；
探索并理解平面图形的平移、旋转、轴对称；
认识投影与视图；
探索并理解平面直角坐标系及其应用。
数学思考：
在研究图形性质和运动、确定物体位置等过程中，进一步发展空间观念；
经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观；
体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多种形式的数学活动中，发展合情推理和演绎推理的能力；
体会几何的基本思想和思维方式。
问题解决：
初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识；
经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法。
情感态度：
积极参与几何知识探究活动，体验独自克服困难、解决数学问题的过程，养成良好的几何学习习惯，形成严谨求实的科学态度。
三、试题分析及备考建议：
试题分析：
试
题
四基+四能
10个核心概念
情感态度价值观
复
习
题量与分值
选择题
填空题
解答题
总分
百分比
题量
分值
题量
分值
题量
分值
16卷
5
15
2
6
4
27
48
40%
17卷
5
15
2
6
4
27
48
40%
18卷
5
15
2
6
4
27
46
38%
24题常与几何图形结合起来考查；
25通常是以几何图形为载体！
备考建议：
（一）关注基础，渗透几何直观，体现育人价值
三视图为什么会年年考，先看这道题考查了什么？这道题考查了学生从不同角度观察几何体，教育学生从多角度思考问题，体现育人价值。今后会怎么考？今后仍然以几何图形的三视图、展开图或者轴对称图形、中心对称图形的方式来考查。
（二）关注图形自身要素之间的联系，重视几何直观
明确题目考查到怎样的难度，对于平行线和相交线、三角形这两道题，考查的难度就定位在图形自身要素之间的联系，点、线、面、角是基本图形，是图形几何考查的起点，所以会年年考。以后会怎么考？明确基本概念和基本技能，掌握考查知识点和研究考试的细度和效度。
（三）关注图形自身要素之间的内在联系，重视数学思维及逻辑推理（18陕西6、8题，16年19题为例，题略）
三角形在现实生活中应用非常广泛，在考查核心素养中的数学抽象、推理能力、模型思想、几何直观等方面有着非常重要的作用，也是后续研究四边形、圆等图形的基础。四边形自成体系，又能够相互联系，和三角形等是基本图形，四边形的考查是发展学生核心素养很好的平台。圆是初中阶段唯一的曲线型图形，能够和平面几何中所有的图形结合，较好的考查学生学习几何的综合能力。明确这部分的基本概念和基本技能，定位在图形之间内在联系，通常以求线段长和求角度为主。
（四）关注综合能力，强化图形要素的关联，指向隐形要素，重视几何直观、逻辑推理等
23题也是强化图形要素的联系，但通常多了指向隐形要素，即一般需要作辅助线，考查直线和圆的位置关系。一般以证明直线是圆的切线，或已知切线来证明线段或角度的数量关系。
（五）关注数学应用意识，动手操作能力，重视数学活动经验的积累及数学模型
应用意识，动手操作能力的考查主要在两个方面，一是尺规作图，二是测量。尺规作图仍然会考查五种基本作图。测量仍然会是利用在直角三角形中的边角关系，通过相似或解三角形进行考查。
（六）关注数学思想内涵，重视数学学习能力
14题一般以三角形、四边形为载体，综合运用几何知识求线段或角，以及几何图形的周长或面积进行考查。
对于备考建议：
科学、高效的把握《课标》和《说明》外再补充两点：
（1）在复习的时候建立知识之间内在的联系（举例）；
（2）注意答题规范。
四、“图形与几何”与压轴探秘
1.压轴题的目的
目的在于培养学生综合运用有关知识与方法去解决实际问题。培养学生的问题意识、应用意识和创新意识；积累学生的活动经验、提高学生解决问题的能力和再学习的能力（研究一类事物或现象的共同属性）。
2.历年压轴题回顾
3.日常教学中如何做？（陕西压轴题讲透彻、自己研究陕西压轴题）
关注三个方面：
（1）问题提出：明确需要解决的问题，并要求学生初步学会在具体情境中从数学角度发现、提出问题；
（2）问题探究：关注学生经历活动的整个过程，积累数学活动经验；
（3）问题解决：解决问题的能力和再学习能力。
一图一景致，一题一乾坤
——“统计与概率，综合与实践”试题分折及备考建议西工大附中 刘红波
一、从图表谈统计概率
二、从问题谈综合实践
三、从试题谈数学教学
四、从素养谈教师发展
◇统计与概率的试题分析与备考建议
统计——试题分析
例1.（2018陕西19题，7分）对垃圾进行分类投放，能有效提高对垃圾的处理和再利用，减少污染，保护环境．为了了解同学们对垃圾分类知识的了解程度，增强同学们的环保意识，普及垃圾分类及投放的相关知识，某校数学兴趣小组的同学们设计了“垃圾分类知识及投放情况”问卷，并在本校随机抽取若干名同学进行了问卷测试．根据测试成绩分布情况，他们将全部测试成绩分成、、、四组，绘制了如下统计图表：
“垃圾分类知识及投放情况”问卷测试成绩统计表
从考查技能向考查素养靠拢
(1) 试题
传承：图表信息、统计量
创新：题位变化、分值变化、背景创新、立意创新
(2) 启示
教与学：提升从图表中获取信息的能力，培养数据分析素养。
统计——备考建议
1.理解统计，体会数据分析观念
2.关注时代热点，培养学生从统计图表中获取数据信息的能力，进一步发展数据分析素养；
3.理解部分与整体的关系，会求各种统计量，特别是平均数、众数、中位数；
4.理解样本与总体的关系，能用样本估计总体，进一步体会统计的意义，体会数学广泛的应用性。
概率——试题分析
例2.2018陕西22题从考查技能向考查素养靠拢
(1) 试题
传承：实际问题、概率计算
创新：模型创新、立意创新
(2) 启示
教学：提升能力，培养素养
学习：发现问题，训练能力
概率——备考建议
1. 理解概率，进一步体会数据分析观念；
2.理解概率计算时的等可能性；
3.理解题意，会用列表法或画树状图的方法列举事件发生的所有等可能结果；
4.会计算概率，进一步体会概率的意义，体会数学广泛的应用性。
统计与概率的综合分析
1. 趋向数学学科核心素养之数据分析的发展考查
数据分析观念包括：了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析你验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。
——义务段数学课程标准（2011版）
数据分析是指针对研究对象获取数据，运用数学方法对数据进行整理、分析和推断.形成关于研究对象知识的素养。数据分析过程主要包括：收集数据，整理数据，提取信息.构建模型，进行推断获得结论论。
数据分析是研究随机现象的重要数学技术，是大数据时代数学应用的主要方法，也是“互联网+”相关领域的主要数学方法，数据分析已经深入到科学、技术、工程和现代社会生活的各个方面。
数据分析主要表现为：收集和整理数据，理解和处理数据，获得和解释结论，概括和形成知识。
通过高中数学课程的学习，学生能提升获取有价值信息并进行定量分析的意识和能力：适应数字化学习的需要，增强基于数据表达现实问题的意识，形成通过数据认识事物的思维品质，积累依托数据探索事物本质、关联和规律的活动经验。
——高中数学课程标准（2017版）
2. 命题更趋向于对数学本质的思考
3. 趋向人的培养之从图表中获取信息能力的考查
◇综合与实践的试题分析与备考建议
综合与实践——试题分析
1.什么是综合与实践？
“综合与实践”是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动.它有别于学习具体知识的探索活动，更有别于课堂上教师的直接讲授。它是教师通过问题引领、学生全程参与、实践过程相对完整的学习活动。
积累数学活动经验、培养学生应用意识和创新意识是数学课程的重要目标，应贯穿整个数学课程之中。“综合与实践”是实现这些目标的重要和有效的载体。
——义务段数学课程标准（2011版）
2.综合与实践的教学.
综合与实践领域的教学，往往以课题学习为抓手：
①以课本中所涉及的，如：
北师大版：制作一个尽可能大的无盖长方体盒子；证明、猜想与拓广等；
人教版：镶嵌；最短路径问题；设计方案等。
②老师们在教学过程中设计的一些探究性问题，如：面积等分线问题；定角对定边问题等等。
③学生在学习中自主发现的一些数学问题，如：蚂蚁在圆柱表面爬行的最短路径问题等等。
落实四基，培养四能的最佳载体
3.综合与实践的考查：——压轴题
以“问题提出——问题探究——问题解决”
就是在引导学生通过自主发现问题，自主探究方法，自主解决问题的完整数学学习的过程，而这个过程需要一定的数学基础知识和基本技能，需要一定的数学思想和数学活动经验。一般的，通过组合的几何图形作为载体，综合考查学生运用所学的知识进行数学抽象、数学推理、数学建模的能力。
思考1.回归数学本质：
思考2：考查向核心素养靠拢
1.以“圆心”为暗线的几何探究——找圆心、用圆心、过圆心；
2.以“低起点，中思考，攀高峰”的三部曲呈现——问题提出、问题探究、问题解决；
3.将曲线型最值和直线型最值完美结合——点到圆上点距离最值和“将军饮马”叠加；
4.从静到动，在变中寻找不变，通过转化化归解决问题.
小结：
1.考什么：数学本质一—数学是研究数量关系和空间形式的科学；
2.怎么考：核心素养立意一—数学抽象，数学推理，数学模型：
3.怎么办：从技能立意到素养立意—需要共同深入思考数学本质，发展学生的数学核心素养。
综合与实践——备考建议
1.提出有价值的问题供学生研究。如：
（1）翻折求最值；
（2）“将军饮马”求最值；
（3）旋转求最值；
（4）“费马点”求最值；
（5）定弦定角求最值：构造辅助圆（09压轴等）；
（6）定角定高求最值：构造辅助圆；
（7）最大张角问题：相切最大角（15压轴）：
（8）阿氏圆求最值：构造相似；
（9）二次轨迹求最值：构造旋转相似变换；
（10）函数法求最值：构造函数模型（12压轴）：等等。
2.引导学生分析解决压轴题：
①联想，一方面联想学习过的、与之相关的数学知识，另一方面是前后问之间的联系；
②转化，将该问题抽象或转化成一个或几个熟悉的数学模型解决；
③严谨，无论是思维，还是文字表达，都应该注意体现数学的严谨态度。
一般的，按：找、证、算进行书写。
④拼搏，即该题是选拔性试题，层次感和梯度感强，解决中要求考生应有一定的拼搏意识。
综合与实践的综合分析
1.趋向数学学科核心素养的发展考查
（1）用数学的眼光观察世界，发展数学抽象、直观想象素养。
（2）用数学的思维分析世界，发展逻辑推理、数学运算素养。
（3）用数学的语言表达世界，发展数学建模、数据分析素养。
2.趋向人的培养之在问题中发展能力的考查
不仅仅是压轴题，太多的中考试题都饱含命题人的智慧，在我们共同揣摩命题人命题方向的时候，还应该看到他们的良苦用心，看到他们对问题的深入研究，更是引导我们对数学本质的思考，对学生的数学核心素养的培养，最终对人的培养。
◇对中考备考及数学教学的建议
（一）中考命题的研究我们一直在路上！（以2018年为例）
一、选择题（10×3=30）
1.倒数的概念
2.三棱柱的展开图
3.平行线中的角度计算
4.正比例函数的数量关系
5.整式运算
6.三角形中的线段计算
7.两个一次函数之间的关系
8.菱形中的有关计算
9.圆中线段和角之间的关系
10.二次函数中的数形结合
二、填空题（4×3=12）
11.比较实数的大小
12.正五边形的角度计算
13.反比例函数求表达式
14.平行四边形中的面积关系
三、解答题（共11题，78分）
备考建议
“其实地上本没有路，走的人多了，也便成了路.”这恰好比我们的中考命题，本来，没有什么规律，但命了这么多年，也便有了它的规律.
但当我们拥有了规律，又有何用呀
——素养和能力的考查才是中考最终的归宿！
（二）中考备考我们必须脚踏实地！
1.布好复习局
（1）什么时候结束新课——不要急——扎实
（2）什么时候一轮复习—怎么做—有效
（3）什么时候专题复习——啥专题——针对
（4）安排几次模拟考试——用啥题——调整
2.上好复习课
分析四个对象：学生，方向，教辅，作业
按照三个层次：低起点、练扎实、稍拔高
处理两个关系：知识，习题
解决一个问题：有效
（三）要不断反思我们的数学教学-----三年一体化思想！
1.设计适合不同学生的层次化课堂教学
2.设计适合中考考试的阶段化组合教学
3.设计适合核心素养的目标化单元教学
数学核心素养
会用数学的眼光观察世界
数学的眼光是什么：数学抽象、直观想象
引发的数学特征：数学的一般性
会用数学的思维思考世界
数学的思维是什么：逻辑推理、数学运算
会用数学的语言表达世界
数学的语言是什么：数学模型、数据分析
教师的任务
1.短期任务——我们把课上好；
2.中期任务——学生把试考好；
3.终极任务——共同把人育好.
给老师的建议——治学三境界
第一境界：
昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路
第二境界：
衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴
第三境界：
众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在，灯火阑珊处
——王国维
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