很多时候,问题越是简单,解答起来越复杂。1983年,Kobon Fujimura提出了这样一个问题:N条直线最多可以构成多少个互不重叠的三角形?这个问题后来被称为Kobon三角形问题。虽然对于一些特殊的n,人们已经找到了确切的最优解,但目前Kobon三角形问题还没有一般的结论。就在上个月,Johannes Bader用17条直线构造出85个互不重叠的三角形,它被证明是n=17的最优解。这里,我们将给出Johannes Bader构造出来的图形,并且证明它确实是n=17时的最优解。
如果n条直线中任两条不平行,任三条不共点,则每条直线都被其它n-1条直线切割为n份,产生了n-2个小线段,因此n条直线最多可以构成n(n-2)个小线段。我们将证明,n(n-2)/3是Kobon三角形问题的一个上界。有人会说,这不是显然的吗,如果这n(n-2)个小线段被“充分利用”的话,每条小线段都是一个三角形的边,n(n-2)/3显然已经是最大的了。且慢,万一两个三角形有公共边咋办?这样是不是可以“节约”一条边出来?有人甚至会想到,这样做节约的可不止一条边,如果两个三角形有公共边的话,必然会出现三线共点的情况,这将导致这两个三角形对面又产生另一对共边的三角形(图1)。但事实上,允许公共边的出现不但没有节约任何边,反而浪费了更多的线段。别忘了,三线共点这一情况的出现将减少总线段数,此时总线段数不再是n(n-2),你将白白损失三条本该有所作为的线段(图2)。省了两条,丢了三条,可见同样是想构造n(n-2)/3个三角形,只要有共用边出现,n(n-2)条小线段是不够的。证明的基本思路就是这样,有兴趣的话大家可以自己整理出详细的证明过程。
注意这个证明并没有说存在公共边的构造肯定不是最优解。有可能对于某些n,某个包含公共边的解是最优解,只是它没达到这里给出的上界而已。另外大家可能会问到的问题是,是否存在“部分公共边”的情况。这种“大边包含小边”式的共边三角形显然是愚蠢的,因为此时其中一个三角形必然被划分为了更小的三角形,选择小的那个三角形显然更好。
当n=17时,上界n(n-2)/3是可以达到的。Johannes Bader构造出了下面这个图形,图形中包含了85个互不重叠的三角形,完美解决了n=17时的Kobon三角形问题。
给定一个大圆C,里面的六个小圆均内切于圆C。如果这六个小圆中每相邻两个小圆均外切,则连接相对的内切点所成的三条线段共点。
这是一个非常漂亮的结论。它的证明比较复杂。如果你能独立想出来的话,你就牛B了。大家不妨来挑战一下。
Stanley Rabinowitz于1975给出了一个简单的初等证明。证明的关键在于下面的这个引理:圆周上有A、B、C、D、E、F六点,线段AD、BE、CF共点当且仅当AB·CD·EF=BC·DE·FA。
引理的证明其实很简单。注意到圆周角∠CBE和∠CFE相等,圆周角∠BCF和∠BEF相等,于是△CPB∽△EPF。类似地,每一组相对的三角形都相似。于是,我们有:
AB/DE = PA/PE
CD/FA = PC/PA
EF/BC = PF/PB
PC/PE = PB/PF
等式左边右边分别乘起来,结论也就证到了。
引理的充分性也是类似的。假设AB·CD·EF=BC·DE·FA但三线不共点,令某两条线段(比如BE和CF)的交点为P,延长AP交圆于X,则有AB·CX·EF=BC·XE·FA,两式一比较我们就发现CX/XE=CD/DE,那只有可能是点X与点D重合。
下面我们的任务就简单了:假如已知圆C的半径为R,圆P和圆Q外切且分别与圆C内切,半径分别为p和q,我们需要想办法求出线段AB的长度。
延长AM交圆C于D,延长BM交圆C于E。△ACD和△APM都是等腰三角形,且有一个公共角∠A,因此这两个三角形相似,从而推出CD∥MP;同理,CE∥MQ。但PMQ在一条直线上,因此DCE也是一条直线。注意到圆周角∠EBA=∠EDA,且∠BAD=∠BED。于是我们发现△ABM和△EDM也是相似的,即AB/DE=AM/EM=BM/DM。但DE等于2R,于是有:
AB/2R · AB/2R
= AM/EM · BM/DM
= AM/DM · BM/EM
= AP/CP · BQ/CQ
= p(R - p) · q(R - q)
现在,把这个结论同时运用到六对外切圆上。假如六个圆与圆C的切点分别为A1、A2、A3、A4、A5、A6,则有:
(A1A2 · A3A4 · A5A6)^2
= 64R^6 · r1(R-r1)·r2(R-r2)·r3(R-r3)·r4(R-r4)·r5(R-r5)·r6(R-r6)
= (A2A3 · A4A5 · A6A1)^2
那么A1A2·A3A4·A5A6=A2A3·A4A5·A6A1,由前面的引理我们就知道了A1A4、A2A5、A3A6三线共点。
最近cut-the-knot上的一些新东西比较有意思。今天下午没事干,我翻译一些我觉得好玩的和大家分享。
上图显示了用直线将一个四分之一圆分为面积相等的两份的三种方法。这三条线段中,哪一个最长,哪一个最短?
答案在下面。
第一种方案的线段长度等于圆的半径;
第二种方案的线段长度显然大于半径,因为红色线段和半径长度相等,但它还不足以平分扇形面积。
第三种方案的线段长度显然小于半径。
看一道很火星的题目:A、B两点在已知直线的同侧,请在直线上找出一点C使得∠ACB最大。可能大家都知道这个该怎么做,但这个解法到底是怎么想到的呢?《数学与猜想》提到了这样一种看法:
首先,我们需要确定,这条直线上的确存在一点,使得这个角度达到最大。我们很容易观察到,这个动点往左移(可以一直移动到BA的延长线与直线的交点),这个角度会慢慢变小;同时,动点不断往右移时角度也会慢慢变小(在无穷远处角度为0)。可以想到,角度大小的变化可以用一个凸函数来表示,这段函数上一定存在一个最大点。现在任意在直线上取一点C,你怎么才能说明∠ACB是最大或者不是最大?一个比较直观的方法是,如果你取的C点不能使角度达到最大,那么这条直线上一定存在另一个点C',使得∠ACB=∠AC'B。分析到这一步,问题终于有了眉目,因为有一个大家都很熟悉的东西恰好与角度相等有关——同一段弧所对的圆周角总是相等。过点AB作一系列的圆,那么同一个圆周上的所有点对AB的张角都是一样大的。我们看到,这些蓝色的线条与直线的交点都是成对出现,换句话说ABC三点确定的圆与直线的另一个交点就是那个C'。但有那么一个点非常例外:在这无穷多个圆中,有一个圆恰好与直线相切。这个切点只出现了一次,它就是角度大小的极大值。
真正的数学家会从这个简单的题目里看到一些更深的思想。我们可以把这个图任意的扭曲,从而得到这样一个有趣的结论。假设我和MM在野外探险,地形是任意给定的,我们的行动路线也是任意给定的。现在我有一张非常精确的等高线地图,我把我们的路线画在地图上,那么整个旅途中所到达的最高点和最低点在地图上的什么位置?仔细思考等高线的定义,我们立即想到:路径穿过等高线的地方肯定不会是最高点或最低点,因为穿过一条等高线即表明你正在爬上爬下。因此,达到最高点或最低点的地方只能是等高线与我的路线相切的地方。这给我们一个启发:我们可以用这种模式来解决很多极大极小问题。我们把所有可能的结果的分布情况用等高线表示,而实际允许的初始条件则被限制在了一条路径上,那么最优解必然是这条路径与某条等高线的切点。用等高线模式来解释刚才的问题将变得非常简单:图中的蓝色线条就是角度大小的“等高线”,在直线上取得极值的时候,等高线恰与直线相切,其它情况下角度大小都在“变化进行时”。
我们再来看三个有趣的例子。在第一个例子中我们将解释为什么点到直线的距离以垂线段最短,第二个例子则将探究为什么所有的圆内接n边形以正n边形最大。在第三个例子里我们将提到一个与椭圆有关的神奇性质。
上面这个图就是到定点距离大小的等高线图。我们可以立即看到,等高线就是一个个的同心圆。与已知直线相切的那个同心圆确定了直线到给定点距离最短的位置,而圆的半径与对应位置上的切线垂直,这就说明了点到直线的距离以垂线段最短。
下面我们考虑圆内接多边形的某个顶点X。这个顶点两旁的点分别是A和B。那么整个多边形被分成了两部分:三角形AXB,和剩下的那一大块多边形。如果我们只移动点X,这只会影响三角形AXB的面积,对剩下的部分没有影响。X在不同位置所得到的三角形面积不同,在图中我们用蓝色的等高线来表示这个面积值的分布情况。由于等底等高的三角形面积相同,因此我们的等高线是一系列互相平行的直线。点X只能在一段圆弧上取,当△AXB达到最大时X必然落在圆弧与某条直线相切的地方,显然此时AX=BX。换句话说,只要圆内接多边形里有长度不等的邻边,那么这个多边形的面积一定可以变得更大。再换句话说,只有所有边都相等了,面积才可能达到最大。这就说明了,所有的圆内接n边形以正n边形最大。
我相信你已经对这个方法非常熟悉了,因此最后这个例子我就不画图了。在第三个例子中,我们将考虑一个和光学有关的性质。给定一条直线和直线同侧的两点A、B,那么直线上一定有一点C使得AC+BC达到最小。这个点C是一个以A、B为焦点的椭圆形等高线与直线的切点。固定点A和点B,适当调整直线的位置,结论始终成立。还记得Fermat原理吗,光从一点到另一点总是沿着光程最短的路径来传播。仅考虑反射定律,这个结论很显然。也就是说,A->C->B这样的光线传播路径完全遵循光的反射规律。嘿!我证明了这样一个富有传奇色彩的结论:椭圆形从一个焦点发射出来的光线总会反射到另一个焦点
任意给定一个三角形ABC。令M为BC上的中点,令H为BC上的垂足。角A的平分线与BC交于点D。过B、C分别向角平分线AD作垂线,垂足分别为P、Q。证明H、P、M、Q四点共圆。
证明过程不复杂,几句话就说完了。但如果你能独立想出证明过程来的话也不简单。继续看下去前不妨先试试看
结论看起来似乎很神奇,但证明过程却并没有什么很特别的地方。
为了说明四点共圆,我们下面说明圆周角∠HQP=∠HMP。首先我们证明,∠HQP=∠ACB。由于∠AHC=∠AQC=90°,因此A、H、Q、C四点共圆,于是圆周角∠HQP=∠ACB。然后我们证明,∠ACB=∠HMP。延长BP后你会发现,P是BR的中点(AP既是角平分线又是垂线,等腰三角形三线合一),而M是BC的中点,于是PM∥RC,当然就有∠ACB=∠HMP
顾比倒数线“的画法:
以上证指数解释当前如何画出顾比倒数线。首先,我们找到上证指数下跌趋势线的最低点(标注为1的那条蜡烛线),这是第一只“重要的蜡烛线”。然后沿着这条蜡烛线向左移动,直到遇见另一只“最高价高于蜡烛线1”的蜡烛线,这就是我们要找的第二只“重要的蜡烛线”。再沿着这只蜡烛线向左移动,直到遇见下一只“最高价的蜡烛线”,这就是第三只“重要的蜡烛线”。此时,沿着第三只蜡烛线的顶端画一条直线,这就是“顾比倒数线”。股指必须收在这点之上,才能确认新的上升趋势成立。
至于何时站上才算有效,并无时间限制。
”顾比倒数线“的优点:
在技术分析上,顾比倒数线有两大优点:
其一,这是证明新的向上趋势真实的一个手段;
其二,它能够保证投资者先人一步开始行动。
许多投资者使用其他的转势信号,这些信号都要比“倒数线”慢,因此会贻误战机。
顾比倒数线的使用说明:
顾比倒数线的交易含义:
1.在下跌趋势转为上升趋势时,投资者是很容易犯错误的。有时候,即使股指收在了下跌趋势线之上,也会是一个错误的转势信号。避免错误信号的方法是使用一些趋势转折的确认指标。
2.当运动员起跑之前,通常需要得到三个命令“准备,入位,跑!”
(顾比倒数线的原理与此类似。下跌趋势的最低点就是“准备”的讯号;)
1.)当指数收在了下跌趋势线之上,则是“入位”的讯号;
2.)当指数收在了顾比倒数线之上,则是“跑”的讯号,---- 这时投资者就可以开始买股票了。
顾比倒数线的用途:
是判断趋势转折的可靠指标。它有三个方面的用途:
第一是当下跌趋势转为新的上升趋势时作为确认信号;
第二是交易发生后,作为止损信号;
第三则是在上升趋势即将转化为新的下跌趋势时,作为获取最佳利润的出场信号。
顾比倒数入场线的条件:
顾比倒数入场线是这样画出来的:从近期下跌趋势的指数最低点,往回数3条“重要的”棒形线(或蜡烛线)。所谓“重要的”棒形线,是指其最高价高于其后那条的最高价。
在一个持续下跌的趋势中,作为短期抵抗线的顾比倒数入场线,也可以通过倒数2条“重要的”棒形线,然后向右画出一条水平线而得到。指数收在这条抵抗线上,就证明下跌趋势已经被改变,
由此得到最佳的入场信号。需要注意的是,只要指数创出了新的低点,顾比倒数入场线就需要重新计算。要得出下跌趋势转化为上升趋势的结论,必须满足股指收在倒数线上这个条件。一旦股指“跳”过了这道屏障,则意味着趋势转折的力度很强。
顾比倒数止损线的条件:
在进行交易时,顾比倒数止损线可以用来止住亏损,保护本金。与顾比倒数入场线不同的是,止损线的起点不是下跌趋势的最低点,而是新的上升趋势中最近的那个最高点。从这个最高点位于棒形线,往回数3条“重要的”棒形线(或蜡烛线)。而这里所谓的“重要的”棒形线,则要求最低价要低于其后那条的最低价。
顾比倒数止损线在新的上升趋势中,可以作为短期的支撑线。其画法是往回数2条“重要的”棒形线,然后向右水平画出一条直线。股指收在这条线之下,说明上升趋势失败了。因此,顾比倒数止损线可以用来判断最佳的出场位置。在依据顾比倒数止损线出场之后,投资者应能确保其资金的损失不会超过2%。
顾比倒数止盈线的条件:
当股指在我们的入场信号之上运行时,投资者就开始盈利了。这时顾比倒数线还可以作为保护利润的离场信号。我们从上升趋势中最近的最高价开始,往回数2条最低价比其后那条线更低的棒形线,然后向右画一条水平线,这就形成了一条短期支撑线。一旦指数收在顾比倒数止盈线之下,表明上升趋势将要转变为新的下跌趋势。
如果股指维持在顾比倒数止盈线之上,则交易还可以继续。一旦跌破,交易就应当结束。因此说,顾比倒数止盈线是用来保存利润的。
注意:投资者通常是倒数3条“重要的”棒形线(或蜡烛线),而不是3天。
结论:
因此总的说来,顾比倒数线是一个确认信号,既可以帮助投资者判断真正的趋势改变,也可用于止损,还可以用来保存利润