混沌蝴蝶——洛伦兹吸引子

混沌吸引子又称奇异吸引子，它是混沌中特有的。混沌吸引子在形态、结构和发生机理方面，均与非混沌吸引子不同。

    混沌吸引子是整体稳定性与局部不稳定性共同作用的结果。耗散是整体的稳定因素，它使运动轨道稳定的收缩到吸引子上。但如果动力系统在其相体积收缩的同时，它在某些方向上的运动又是不稳定的，例如，在这些方向上存在着指数性的发散，那么，它的最终状态将会是怎样的呢？显然，必须在有限区域，即吸引子上，实现运动轨道的局部不稳定性，例如，是运动轨道分离。只有一种办法能做到这一点，那就是运动轨道无穷次的折迭。这种折迭保证了某些运动方向上的指数型发散，于是就产生了具有无穷嵌套自相似结构的吸引子，即混沌吸引子。

    混沌吸引子有几个“奇异”的特性，首先是它的分形性质，它作为相空间的一个子集，具有精细的嵌套自相似结构，得到的图形的维数不是一个整数。其次是混沌吸引子有两种运动方向，一切在吸引子之外的运动都向它靠拢，对应着稳定方向；而一切到达吸引子内部的运动轨道都相互排斥，对应着不稳定的方向。它作为一个整体是动力系统最终的归宿，对于微小扰动是稳定的，即最终运动方向会到达吸引子上；但是吸引子内部的运动却对初始条件非常敏感，进入奇异吸引子的部位稍有差异，运动轨道变会截然不同。这也是混沌的初值敏感依赖性根本原因之所在。必须指出，只有耗散系统才存在混沌吸引子，但并非只有耗散系统才存在混沌。

   为什么要推荐混沌吸引子呢？请球友先欣赏一下它的图片，逐步会感觉到。

 混沌运动与乒乓运动具有共同点： 整体确定性与局部随机性。

 

美国气象学家洛伦兹（E.N.Lorenz，不要和提出洛伦兹变换的那位搞混）是混沌理论的奠基者之一。20世纪50年代末到60年代初，他的主要工作目标是从理论上进行长期天气预报。他在使用计算机模拟天气时意外发现，对于天气系统，哪怕初始条件的微小改变也会显著影响运算结果。随后，他在同事工作的基础上化简了自己先前的模型，得到了有3个变量的一阶微分方程组，由它描述的运动中存在一个奇异吸引子，即洛伦兹吸引子。</>

洛伦兹的工作结果最初在1963年发表，论文题目为DeterministicNonperiodic Flow，发表在Journal of the AtmosphericSciences杂志上。如今，这一方程组已成为混沌理论的经典，也是“巴西蝴蝶扇动翅膀在美国引起德克萨斯的飓风”一说的肇始。它的形式看起来很简单：

洛伦兹方程组是基于流体力学中的Navier-Stokes方程、热传导方程和连续性方程构建的，属于耗散系统。相空间中，耗散系统的终态都将收缩到吸引子的状态上。但对平庸吸引子来说，无论初值如何，终值只有一个，而奇异吸引子却是无数个点的集合，对初值极端敏感。如洛伦兹当年只是忽略了小数点4位以后的数值，得到的结果就有了相当大的偏差，甚至是完全相反。

在洛仑兹原始的工作中，x表示的是对流的翻动速率，y正比于上流与下流液体温差，z是垂直方向的温度梯度。式中三个参数

（Prandtl数）、

和

（Rayleigh数）可任取大于0的数值。常用的组合是

，

，而令

取不同数值。

时有混沌现象，奇异吸引子出现，此时系统的演化轨迹如下图所示：

这一图案颇似蝴蝶展翅，所谓混沌理论的“蝴蝶效应”之得名据说也与此吸引子的形状有关。该系统中x、y、z这3个方向数值随时间的演化如下图，其中黑线为x轴变化情况，红线为y轴变化情况，蓝线是z轴变化情况（积分步长

）。

固定另2个参数，

的不同取值则决定了系统的不同性质。下面四图分别为该参数取值1、10、14与99.6时的演化轨迹：

由图中可见，在

较小（如取1）的情况下，系统是稳定的，演化到两个吸引点中的一个。随着

的增加，系统趋于复杂，在

时达到混沌状态。

的情况是所谓的圆环结（torusknot）。如果单独看以上三种情况x、y、z坐标的演化，可能会更清楚一些：

左上：

；右上：

；左下：

；右下：

PaulBourke作出过洛伦兹吸引子的3D图象，并发表在2000年8月31日的Nature杂志上：

另外此君还提供了一段洛伦兹吸引子的音乐，乐谱片段如下，制作原理不详，只知道3个轴的坐标分别用3种乐器表示。这段midi听起来感觉比较怪异，有兴趣的可以下载听一听。

洛伦兹吸引子的行为可以用一个“水轮”模拟，该装置的主体是可旋转的竖直轮盘，轮盘周围装有一圈可以漏水的杯子，从轮子上方注水至杯中，调节注水速度，达到某一速度时，轮盘的转动出现混沌。这一模型是WillemMalkus和Lou Howard于1970年前后提出的，在2005底召开的荷兰物理教师年会上，PlanetenPaultje展示了实物。

PlanetenPaultje的水轮装置

再说所谓混沌。如庞加莱在《科学与方法》一书中所说，“初始条件的微小差异有可能在最终的现象中导致巨大的差异”，“预言变得不可能”。更准确的定义干脆照抄《天体力学基础》的教材好了：“若初始值

有一点小偏差，则因这一点偏差引起的轨道未来预报的不准确将会指数增长。”混沌的判据是最大Lyapunov指数，该指数大于0则系统混沌，至于具体计算再扯下去必然公式连篇，故不详谈。

其实混沌理论也不一定要求系统形式上的复杂性，比如描述洛伦兹吸引子的方程组就很简单。关键是，在简单的表象后面莫测的复杂。如今在混沌的研究中，计算机起了很大的作用。至于实际应用，混沌起作用的地方还是很多的，如天气系统、N体运动中的轨道，乃至经济问题……